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On probability and Listerism. (On probability and Listerism.) (English) JFM 14.0176.02
Ed. Times XXXVII. 77-80, 92 (1882).
(Siehe auch JFM 14.0176.01) Die Aufgabe, um welche es sich handelt, ist folgende: Von zehn Fällen, die nach der Lister’schen Methode behandelt wurden, verliefen sieben Fälle glücklich, während drei durch Blutvergiftung endeten; von vierzehn Fällen, bei denen gewöhnlicher Verband angewendet wurde, verliefen neun Fälle glücklich, während in fünf Fällen Blutvergiftung eintrat. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg der Lister’schen Methode dem Zufall zuzuschreiben ist?
Ueber die Lösung der Aufgabe hat sich unter den Obengenannten eine Polemik entsponnen, an welcher sich auch H. MacColl, Miss Eliza Blackwood, Mr. Whitworth beteiligten. Die Lösungen, welche gegeben werden, sind die folgenden:
Dr. Macfarlane. Die Wahrscheinlichkeit des Erfolges einer Behandlung nach der Lister’schen Methode werde durch \(p\), diejenige bei gewöhnlichem Verband durch \(q\) bezeichnet; dann ist \(p-q\) die Wahrscheinlichkeit der Wirkung des antiseptischen Mittels, und die Wahrscheinlichkeit, dass in einem gegebenen Falle der Erfolg der Lister’schen Methode nicht auf Rechnung ihres charakteristischen Teils zu setzen ist, findet er gleich \(\frac{q}{p-q}\), das ist für gegebene Aufgabe \(\frac{45}{4}\).
Dr. Mc. Alister. Die Aufgabe hätte auch so eingekleidet werden können: Es sind zwei Urnen \(A\) und \(B\) vorhanden; in jeder derselben befindet sich eine grosse Anzahl weisser und schwarzer Kugeln. Aus \(A\) werden der Reihe nach \(a+b\) Kugeln gezogen, davon sind \(a\) Kugeln weiss; aus \(B\) werden \(p+q\) Kugeln gezogen, davon sind \(p\) Kugeln weiss. \(\frac{a}{a+b}\) ist grösser als \(\frac{p}{p+q}\), und die Aufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass das Verhältnis der weissen Kugeln zu den schwarzen in der Urne \(B\) kleiner ist, als in der Urne \(A\). Er berechnet dann für die vorliegenden Zahlen, dass man 3:2 wetten kann, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolges bei der Lister’schen Methode der Methode selbst, und nicht dem Zufall zuzuschreiben ist.
Whitworth bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses unter der gewöhnlichen Methode durch \(p\), unter der Lister’schen Methode durch \(\mu p\), dann ist die a priori Wahrscheinlichkeit des beobachteten Gesammt-Ereignisses \[ P\;=\;p^9(1-p)^5(\mu p)^7(1-\mu p)^3, \] wo \(\mu\) irgend einen Wert zwischen 0 und \(\frac 1p\) haben kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass \(\mu <1\), d. h. dass die Lister’sche Methode keinen Nutzen hat, ist \[ \frac{\sum^{\mu =1}_{\mu =0}P}{\sum^{\mu =\frac 1p}_{\mu =0}P}\;=\;\frac{\int^1_0\mu^7(1-\mu p)^3d\mu}{\int^{\frac 1p}\mu^7(1-\mu p)^3d\mu}\;=\;165p^8-440p^9+360p^1-^0120p^{11}. \] Dies ist, \(p\;=\;\frac{9}{14}\) gesetzt, gleich \(0,0078\), mithin ist die gegengesetzte Wahrscheinlichkeit \(\;=\;0,9922\). Man kann also nach ihm 229 gegen 2 wetten, dass die Lister’sche Methode von Nutzen ist. Wir haben geglaubt, dass die grosse Verschiedenheit der Lösungen interessant genug sei, um hier mitgeteilt zu werden auf die darüber geführte Polemik können wir nicht näher eingehen.
Reviewer: Lazarus, (Hamburg)

MSC:
62F03 Parametric hypothesis testing