×

Tensor invariants and integration of differential equations. (English. Russian original) Zbl 1439.37057

Russ. Math. Surv. 74, No. 1, 111-140 (2019); translation from Usp. Mat. Nauk 74, No. 1, 117-148 (2019).

MSC:

37J35 Completely integrable finite-dimensional Hamiltonian systems, integration methods, integrability tests
37J06 General theory of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems, Hamiltonian and Lagrangian structures, symmetries, invariants
37J39 Relations of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems with topology, geometry and differential geometry (symplectic geometry, Poisson geometry, etc.)
70E40 Integrable cases of motion in rigid body dynamics
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI

References:

[1] С. П. Новиков, И. А. Тайманов 2005 Современные геометрические структуры и поля МЦНМО, М. 584 pp.
[2] English transl. S. P. Novikov and I. A. Taimanov 2006 Modern geometric structures and fields Grad. Stud. Math. 71 Amer. Math. Soc., Providence, RI xx+633 pp.
[3] H. Poincaré 1912 Calcul des probabilités Gauthier-Villars, Paris 340 pp.
[4] I. Tamura 1976 Yōsō no toporojī Sūgaku Sensho Iwanami Shoten, Tokyo 238 pp.
[5] English transl. I. Tamura 1992 Topology of foliations Translations of Mathematical Monographs 97 American Mathematical Society, Providence, RI xii+193 pp.
[6] А. Н. Колмогоров 1953 О динамических системах с интегральным инвариантом на торе Докл. АН СССР93 5 763-766
[7] English transl. A. N. Kolmogorov 1991 On dynamical systems with an integral invariant on a torus Selected works of A. N. Kolmogorov Mathematics and Its Applications, Soviet Ser. 25, I Mathematics and mechanics Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 344-348
[8] P. J. Olver 1986 Applications of Lie groups to differential equations Grad. Texts in Math. 107 Springer-Verlag, New York xxvi+497 pp.
[9] В. В. Козлов 2005 Замечания об одной теореме Ли, касающейся точной интегрируемости дифференциальных уравнений Дифференц. уравнения41 4 553-555
[10] English transl. V. V. Kozlov 2005 Remarks on a Lie theorem on the integrability of differential equations in closed form Differ. Equ.41 4 588-590 · Zbl 1095.34501
[11] J. F. Cariñena, F. Falceto, J. Grabowski, and M. F. Rañada 2014 Geometry of Lie integrability by quadratures 1409.7549 18 pp.
[12] V. V. Kozlov 2013 The Euler-Jacobi-Lie integrability theorem Regul. Chaotic Dyn.18 4 329-343 · Zbl 1283.34035
[13] В. И. Арнольд 1963 Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики Сиб. матем. журн.4 2 471-474
[14] English transl. V. I. Arnol’d 1967 On a theorem of Liouville concerning integrable problems of dynamics Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 61 Amer. Math. Soc., Providence, RI 292-296 · Zbl 0189.24401
[15] R. Jost 1968 Winkel- und Wirkungsvariable für allegemeine mechanische Systeme Helv. Phys. Acta41 965-968
[16] В. В. Козлов, Н. Н. Колесников 1979 Об интегрируемости гамильтоновых систем Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 6 88-91
[17] English transl. V. V. Kozlov and N. N. Kolesnikov 1979 Integrability of Hamiltonian systems Moscow Univ. Math. Bull.34 5-6 48-51 · Zbl 0439.70015
[18] В. В. Козлов 1992 Линейные системы с квадратичным интегралом ПММ56 6 900-906
[19] English transl. V. V. Kozlov 1992 Linear systems with a quadratic integral J. Appl. Math. Mech.56 6 803-809 · Zbl 0792.70014
[20] J. Williamson 1940 An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems Amer. J. Math.62 881-911 · JFM 66.0991.02
[21] H. Kocak 1982 Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics J. Math. Phys.23 12 2375-2380 · Zbl 0507.70015
[22] V. Volterra 1897/1898 Sopra una classe di equazioni dinamiche Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino33 451-475 · JFM 29.0604.03
[23] И. А. Бизяев, В. В. Козлов 2015 Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли-Пуассона и метод Ковалевской Матем. сб.206 12 29-54
[24] English transl. I. A. Bizyaev and V. V. Kozlov 2015 Homogeneous systems with quadratic integrals, Lie-Poisson quasi-brackets, and Kovalevskaya’s method Sb. Math.206 12 1682-1706 · Zbl 1358.37099
[25] В. В. Козлов, Э. Картан 2005 Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана Интегральные инварианты Едиториал УРСС, М. 217-258 Добавление в кн.2-е изд.
[26] V. V. Kozlov, É. Cartan 2005 Integral invariants after Poincaré and Cartan Leçons sur les invariants intégraux URSS Editorial, Moscow 217-258 a supplement to2nd Russian ed.
[27] F. Magri 1978 A simple model of the integrable Hamiltonian equation J. Math. Phys.19 5 1156-1162 · Zbl 0383.35065
[28] А. В. Болсинов 1991 Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции Изв. АН СССР. Сер. матем.55 1 68-92
[29] English transl. A. V. Bolsinov 1992 Compatible Poisson brackets on Lie algebras and completeness of families of functions in involution Math. USSR-Izv.38 1 69-90 · Zbl 0744.58030
[30] А. В. Борисов, И. С. Мамаев 2003 Современные методы теории интегрируемых систем Ин-т компьютерных исследований, М.-Ижевск 294 pp.
[31] A. V. Borisov and I. S. Mamaev 2003 Modern methods in the theory of integrable systems Institute of Computer Studies, Moscow-Izhevsk 294 pp.
[32] G. D. Birkhoff 1927 Dynamical systems Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 9 Amer. Math. Soc., New York viii+295 pp.
[33] R. M. Santilli 1983 Foundations of theoretical mechanics Texts Monogr. Phys. II Birkhoffian generalization of Hamiltonian mechanics Springer-Verlag, New York-Berlin xix+370 pp.
[34] В. В. Козлов 2013 Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд. Ин-т компьютерных исследований, М.-Ижевск 324 pp.
[35] English transl. of 1st ed. V. V. Kozlov 2003 Dynamical systems X. General theory of vortices Encyclopaedia Math. Sci. 67 Springer-Verlag, Berlin viii+184 pp.
[36] É. Cartan 1922 Leçons sur les invariants intégraux Hermann, Paris x+210 pp.
[37] В. В. Козлов 2018 Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом Алгебра и анализ30 5 159-168
[38] V. V. Kozlov 2018 Multi-Hamiltonicity of a linear system with a quadratic invariant Algebra i Analiz30 5 159-168
[39] V. V. Kozlov 2018 Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability Regul. Chaotic Dyn.23 1 26-46 · Zbl 1400.37061
[40] Д. В. Трещев, А. А. Шкаликов 2017 О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве Матем. заметки101 6 911-918
[41] English transl. D. V. Treshchev and A. A. Shkalikov 2017 On the Hamiltonian property of linear dynamical systems in Hilbert space Math. Notes101 6 1033-1039 · Zbl 06769031
[42] Ch. J. de la Vallée-Poussin 1912 Cours d’analyse infinitésimale II Uyspruyt, Louvain, Gauthier-Villars, Paris Seconde édition considérablement remaniée, ix+464 pp. · JFM 43.0350.01
[43] V. Volterra 1899 Sur la théorie des variations des latitudes Acta Math.22 201-357 · JFM 29.0650.01
[44] В. И. Арнольд 1992 Полиинтегрируемые потоки Алгебра и анализ4 6 54-62
[45] English transl. V. I. Arnol’d 1993 Poly-integrable flows St. Petersburg Math. J.4 6 1103-1110
[46] В. В. Козлов 2007 Динамические системы на торе с многозначными интегралами Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова Тр. МИАН 256 Наука, М. 201-218
[47] English transl. V. V. Kozlov 2007 Dynamical systems with multivalued integrals on a torus Proc. Steklov Inst. Math.256 188-205 · Zbl 1153.37327
[48] С. П. Новиков 1982 Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса УМН37 5(227) 3-49
[49] English transl. S. P. Novikov 1982 The Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory Russian Math. Surveys37 5 1-56 · Zbl 0571.58011
[50] И. А. Дынников, С. П. Новиков 2005 Топология квазипериодических функций на плоскости УМН60 1(361) 3-28
[51] English transl. I. A. Dynnikov and S. P. Novikov 2005 Topology of quasi-periodic functions on the plane Russian Math. Surveys60 1 1-26 · Zbl 1148.37043
[52] V. V. Kozlov 1996 Symmetries and regular behavior of Hamiltonian systems Chaos6 1 1-5 · Zbl 1055.37571
[53] С. А. Чаплыгин 1904 Новое частное решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания12 1 1-4
[54] S. A. Chaplygin 1904 New special solution of the problem of rotation of a rigid body about a fixed point Tr. Otdel. Fiz. Nauk Obshch. Lyubitelei Estestvoznan.12 1 1-4
[55] А. В. Борисов, И. С. Мамаев 2001 Динамика твердого тела НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.-Ижевск 384 pp.
[56] English transl. A. V. Borisov and I. S. Mamaev 2019 Rigid body dynamics De Gruyter Stud. Math. Phys. 52 De Gruyter, Berlin vii+526 pp.
[57] С. А. Чаплыгин 1903 Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости Тр. отд. физ. наук о-ва любителей естествознания11 2 7-10
[58] S. A. Chaplygin 1903 New special solution of the problem of motion of a rigid body in a fluid Tr. Otdel. Fiz. Nauk Obshch. Lyubitelei Estestvoznan.11 2 7-10
[59] C. G. J. Jacobi 1884 Vorlesungen über Dynamik Gesammelte Werke G. Reimer, Berlin Supplementband, 2. rev. Ausg., viii+300 pp.
[60] S. Kowalewski 1889 Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe Acta Math.12 2 177-232 · JFM 21.0935.01
[61] А. М. Ляпунов 1894 Объ одномъ свойствѣ дифференцiальныхъ уравненiй задачи о движенiи тяжелаго твердаго тѣ ла, имѣ ющаго неподвижную точку Сообщ. Харьк. матем. о-ва. Сер. 24 123-140
[62] A. M. Lyapunov 1894 A property of the differential equation in the problem of motion of a heavy rigid body with a fixed point Soobshch. Kharkov. Mat. Obshch. Ser. 24 123-140
[63] R. Conte and M. Musette 2008 The Painlevé handbook Springer, Dordrecht xxiv+256 pp.
[64] H. Yoshida 1983 Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I. Kowalevski’s exponents Celestial Mech.31 4 363-379 · Zbl 0556.70014
[65] H. Yoshida II. Condition for algebraic integrability Celestial Mech. 381-399 · Zbl 0556.70015
[66] В. В. Козлов 1995 Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике Изд-во Удмуртского ун-та, Ижевск 429 pp.
[67] English transl. V. V. Kozlov 1996 Symmetries, topology and resonances in Hamiltonian mechanics Ergeb. Math. Grenzgeb. (3) 31 Springer-Verlag, Berlin xii+378 pp.
[68] В. В. Козлов 1992 Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской-Ляпунова Матем. заметки51 2 46-52
[69] English transl. V. V. Kozlov 1992 Tensor invariants of quasihomogeneous systems of differential equations, and the Kovalevskaya-Lyapunov asymptotic method Math. Notes51 2 138-142 · Zbl 0819.34004
[70] S. D. Furta 1996 On non-integrability of general systems of differential equations Z. Angew. Math. Phys.47 1 112-131 · Zbl 0845.34012
[71] А. В. Борисов, А. В. Цыгвинцев 1996 Показатели Ковалевской и интегрируемые сиистемы классической динамики. I, II Regul. Chaotic Dyn.1 1 15-37
[72] A. V. Borisov and A. V. Tsygvintsev 1996 Kovalevskaya exponents and integrable systems of classical dynamics. I, II Regul. Chaotic Dyn.1 1 15-37 · Zbl 1001.70506
[73] В. В. Козлов, С. Д. Фурта 2009 Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.-Ижевск 2-е изд.312 pp.
[74] English transl. V. V. Kozlov and S. D. Furta 2013 Asymptotic solutions of strongly nonlinear systems of differential equations Springer Monogr. Math. Springer, Heidelberg xx+262 pp. · Zbl 1322.34003
[75] P. Lochak 1985 Pairing of the Kowalevska exponents in Hamiltonian systems Phys. Lett. A108 4 188-190
[76] С. Т. Садэтов 1994 Резонансы на показатели Ковалевской и их память о некоторых тензорных законах сохранения Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 1 82-87
[77] English transl. S. T. Sadètov 1994 Resonances for Kovalevskaya exponents and their memory of some tensor laws of conservation Moscow Univ. Mech. Bull.49 1 33-40 · Zbl 0887.70003
[78] A. J. Maciejewski and M. Przybylska 2017 Global properties of Kovalevskaya exponents Regular Chaotic Dyn.22 7 840-850 · Zbl 1398.37051
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.