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Mémoire sur la multiplication dont le multiplicateur est la somme \(x+\alpha\). (French) JFM 15.0047.02

In beiden Abhandlungen (JFM 15.0047.01) handelt es sich um die Regel des Descartes über Zeichenwechsel und Zeichenfolgen. Der Gang der Untersuchung ist in beiden Fällen völlig analog, das Resultat in dem ersteren indes durchsichtiger und einfacher. Der Herr Verfasser will eine genauere Angabe der Anzahl der positiven und negativen Wurzeln ermöglichen, indem er gewisse dreigliedrige Ausdrücke (trinômes abaisseurs, élévateurs) untersucht. Dieselben erhält man durch Zusammenfassen von drei Gliedern der Gleichung, welche auf einander folgenden Potenzen des \(x\) entsprechen, wobei man indes nur solche Trinome wählen darf, deren äussere Coefficienten gleiches Zeichen, deren mittlerer das entgegengesetzte hat: \[ \pm (Lx^{p+1}-Mx^p+Nx^{p-1}), \] und welche überdies den Bedingungen \[ M^2\leqq LN \quad \text{und} \quad \frac ML \leqq \alpha \leqq \frac NM \] genügen. Die Anzahl dieser Trinome ist gleich der Hälfte der Zeichenwechsel, welche bei der Multiplication der vorgelegten Gleichung mit \(x+\alpha\) verloren gehen.
Die zahlreichen Anwendungen dieses und des entsprechenden Satztes werden durch eine graphische Methode erleichtert. Ein interessantes Beispiel ist die Gleichung: \[ x^m-x^{m-1}+2x^{m-2}-3x^{m-3}+5x^{m-4}-8x^{m-5}+\dotsm =0, \] in welcher der absolute Wert jedes Coefficienten gleich der Summe der Werte der beiden vorhergehenden ist. Diese Gleichung hat für gerade Werte des \(m\) überhaupt keine reelle Wurzel, für ungerade nur eine positive.

Citations:

JFM 15.0047.01
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Full Text: Numdam EuDML