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On groups of transformation of linear differential equations. (Sur les groupes de transformation des équations différentielles linéaires.) (French) JFM 15.0258.02

Stellen \(y_1,\dots,y_m\) ein Fundamentalsystem von Integralen einer linearen homogenen Differentialgleichung \(m^{\text ter}\) Ordnung mit rationalen Coefficienten und regulären Integralen dar, so wird der Ausdruck \[ V=A_{11}y_1 + \cdots +A_{1m}y_m+ A_{21}\frac{dy_1}{dx}+\cdots +A_{2,m}\frac{dy_m}{dx} + \cdots \]
\[ \cdots + A_{m,m} \frac{d^{m-1}y_m}{dx^{m-1}}, \] wo die \(m^2\) Grössen \(A\) beliebige rationale Functionen der unabhängigen Variablen \(x\) bezeichnen, einer linearen homogenen Differentialgleichung von der Ordnung \(m^2\) genügen, und jedes der Integrale \(y_k\) ist eine lineare Verbindung von \(V,\frac{dV}{dx},\dots, \frac{d^{m^2-1}V}{dx^{m^2-1}}\), mit rationalen Coefficienten. Jedem Integral \(V\), das nicht einer linearen homogenen Differentialgleichung niedrigerer als der Ordnung \(m^2\) genügt, entspricht ein bestimmtes Fundamentalsystem von Integralen \(y_1,\dots,y_m\). Hat nun eine nicht lineare Differentialgleichung der \(p^{\text ten}\) Ordnung für \(V\), die nach der von Herrn Königsberger angewandten Bezeichnung irreductibel ist, mit der erwähnten linearen Differentialgleichung für \(V\) ein Integral und folglich alle ihre Integrale gemeinsam, so entspricht jedem ihrer Integrale ein Fundamentalsystem von Integralen der ursprünglichen Gleichung in \(y\). Die Gesamtheit der linearen Substitutionen, die diese Systeme in einander überführen, und deren Coefficienten algebraische Functionen von \(p\) willkürlichen Parametern sind, wird die Transformationsgruppe \(G\) der Differentialgleichung in \(y\). Für dieselbe gilt folgender dem Galois’schen. Theorem in der Theorie der algebraischen Gleichungen analoger Satz: Jede rationale Function von \(x, y_1,\dots,y_n\) sowie ihren Derivirten, die sich rational als Function von \(x\) ausdrücken lässt, bleibt durch die Substitutionen der Gruppe \(G\) ungeändert; und umgekehrt, jede rationale Function der genannten Argumente, die durch die Substitutionen der Gruppe \(G\) keine Aenderung erleidet, ist eine rationale Function von \(x\).

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
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