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On the nature of algebraic integrals of thr Riccati equation. (Sur la nature des intégrales algébriques de l’équation de Riccati.) (French) JFM 15.0268.02

Sind \(z, \alpha, \beta\) drei Lösungen der Gleichung \[ (1)\quad y'+Py^2+Qy+R=0, \] dann genügt jede vierte Lösung \(y\) der Gleichung \[ \frac{y-\alpha}{y-\beta}= k\frac{z-\alpha}{z-\beta}, \] wo \(k\) eine Constante. Genügt nun \(z\) in der Voraussetzung, dass \(P, Q, R\) rational in \(x\) sind, einer irreductiblen algebraischen Gleichung \(\varOmega\) vom Grade \(m\), so folgt aus obiger Relation für die Natur dieser Gleichung:
1) Durch die Adjunction zweier beliebigen Integrale von (1) zerlegt sich die Gleichung \(\varOmega\) in Abel’sche Factoren.
2) Alle \(m\) Wurzeln von \(\varOmega\) sind rationale Functionen zweier unter ihnen.
3) Wenn \(P = 0\), dann sind alle in Wurzeln rationale Functionen von einer derselben.

MSC:

34A09 Implicit ordinary differential equations, differential-algebraic equations
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Full Text: Gallica