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A treatise on the motion of vortex rings. (English) JFM 15.0854.02

London, Macmillan and Co. (1883).
In dem Werke wird die Bewegung einer Flüssigkeit behandelt, in der sich kreisförmige Wirbelringe befinden. Die Methode ist die, dass in Gleichung \[ \frac {\partial F} {\partial t} + u \frac {\partial F} {\partial x} + v \frac {\partial F} {\partial y} + w \frac {\partial F} {\partial z} =0, \] welche gelten muss, da ja die Oberfläche eines Wirbelringes \((F (x, y, z, t) = 0)\) immer aus denselben Flüssigkeitsteilchen besteht, für die Geschwindigkeitscomponenten \(u\), \(v\), \(w\) die von Herrn v. Helmholtz (Crelle J. LV.) gegebenen Werte eingeführt, und die für die einzelnen gestellten Probleme dadurch erhaltenen Differentialgleichung gelöst werden.
Im I. Teile werden zunächst einige allgemeine Sätze bewiesen und wird die kinetische Energie einer Flüssigkeitsmasse berechnet, die in einem geschlossenen Gefäss enthalten ist, und in der sich kreisförmige Wirbelringe befinden. Es wird dann die Bewegung eines einzigen Wilbelringes betrachtet, dessen Kreisform leicht gestört ist, und dessen Querschnitt klein ist im Vergleich zu seiner Oeffnung. Zufolge der Analogie mit den magnetischen Wirkungen elektrischer Ströme (cfr. v. Helmholtz a. a. O.) und nach einem Satze aus der Theorie derselben lässt sich die Wirkung eines Wirbelringes von der betrachteten Gestalt ersetzen durch die eines gleichen, in der Centrallinie des Wirbelfadens enthaltenen “strength” (d. i. das für alle Punkte eines Wirbels constante Product aus der Rotationsgeschwindigkeit in den Querschnitt des Wirbelfadens). Die Untersuchung ergiebt die Geschwindigkeit, mit der der Ring sich fortpflanzt; sie zeigt, dass er bestehen bleibt für alle kleinen Verrückungen seiner Centrallinie, und lehrt die Periode der Schwingungen kennen, welche derselbe ausführt. Bei der Berechnung der Geschwindigkeitscomponenten tritt das Integral \(\int_{0}^{2\pi} \frac {\cos n \theta\, d\theta} {\sqrt{q - \cos 0}}\) auf, wo \(q\) annähernd gleich 1 ist; es wird eine Reihe für dasselbe entwickelt, welche für diesen Fall hinlänglich schnell convergirt.
Im II. Teile wird die Wirkung zweier Wirbelringe auf einander untersucht, wenn diese sich so bewegen, dass sie einander niemals näher kommen als bis auf ein grosses Vielfaches ihrer Durchmesser. Dieselben beeinflussen sich so, dass die Radien der Ringe eine Aenderung erfahren, dass eine Abweichung ihrer Bahnen eintritt in einer zu den ursprünglichen Bewegungsrichtungen parallelen Ebene, und endlich eine Ablenkung in einer zu den letzteren senkrechten Ebene. Eine interessante Discussion knüpft sich an die gewonnenen Ausdrücke, in denen der Winkel \(varphi\) eine wesentliche Rolle spielt, welchen die kleinste Entfernung der Mittelpunkte der Ringe mit dem kürzesten Abstande ihrer Bahnen macht. Ausser der Grösse und Bewegungsrichtung ändert sich auch die Gestalt der Ringe; dieselben vibriren um ihre Kreisform. Bei dieser Untersuchung treten Integrale auf von der Form \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac {\cos nt\, dt} {(q^2 + t^2)^{\frac 1 2 (2p+1)}} , \] deren Wert durch eine für ein grosses \(nq\) schnell convergirende Reihe dargestellt wird. Es wird ferner ein diesem verwandtes Problem behandelt, nämlich die Bewegung eines Wirbelringes in einer Flüssigkeit, deren Geschwindigkeit an jeder Stelle ausserhalb des Ringes durch ein bekanntes Geschwindigkeitspotential gegeben ist. Die gefundenen Gleichungen werden angewandt auf den Fall, dass der Ring an einer festen Kugel vorüber geht.
Der III. Teil behandelt die Bewegung von Wirbelringen, die mit einander verbunden sind. Ist die Verbindung zweier Ringe so, dass ihr kürzester Abstand in irgend einem Punkte klein ist im Vergleich zur Oeffnung der Ringe, gross dagegen im Vergleich zu ihren Querschnitten, so wird die gegenseitige Wirkung auf ihre Querschnitte annäherung dieselbe sein wie die zweier geraden Wirbelcylinder, deren Abstand gross ist gegen die Radien ihrer Querschnitte. Es zeigt sich, dass die letzteren elliptisch bleiben und um die Kreisform oscilliren. Zwei gleiche Wirbel werden nun so mit einander verbunden gedacht, als seien sie um einen Ankerring gewunden, dessen Querschnitt klein ist im Vergleich zu seiner Offerung, in der Weise, dass immer an entgegengesetzten Seiten eines Durchmessers des Querschnittes Teile der beiden Wirbel sich befinden. Die Bewegung kann bei dieser Anordnung, für deren Möglichkeit die Bedingung abgeleitet wird, bestehen, und für jede Art der Verrückung der Centrallinie existiren zwei Schwingungsperioden. Die Bewegung zweier ungleichen Wirbel wird in ähnlicher Weise so mit einander verbunden sind, dass sie alle auf der Oberfläche eines Ankerringes liegen, und ihre Centrallinien die Ebene irgend Querschnittes des Ringes in den Eckpunkten eines diesem Querschnitt eingeschrieben regulären Polygons schneiden; und es wird gezeigt, dass höchstens sechs Ringe in dieser Weise angeordnet werden können.
Der IV. Teil enthält eine Anwendung der gefundenen Resultate auf die Wirbeltheorie der Gase. Aus den Formeln ergiebt sich das Boyle’sche Gesetz, und die Theorie erklärt auch die von Regnault beobachteten Abweichungen von diesem Gesetz. Eine Entscheidung zu Gunsten der Wirbeltheorie oder der gewöhnlichen kinetischen Theorie der Gase würde wahrscheinlich zu erhoffen sein, wenn nach den in Teil II. gefundenen Gesetzen der Wirkung zweier Wirbelringe auf einander eine Theorie der Diffusion der Gase entwickelt würde. Die letzten Paragraphen des Werkes geben eine Skizze einer Theorie der chemischen Verbindung gasförmigen Körper.