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On the composition of polynomes which admit only prime divisors of given form. (Mémoire sur la composition de polynômes entiers qui n’admettent que des diviseurs premiers d’une forme déterminée.) (French) JFM 16.0159.03
(Siehe auch JFM 16.0159.01, JFM 16.0159.02) Es handelt sich um die Auffindung ganzer Polynome, die keine anderen Primfactoren als solche von der Form \(nt + 1\) besitzen, wo \(t\) einen beliebigen, aber vorgeschriebenen Wert hat. Die Fälle, wo \(t\) nur einen Primfactor, weiter nur zwei, drei, dann überhaupt \(k\) Primfactoren enthält, werden getrennt untersucht.
Ein Beispiel für den ersten Fall bildet das ganze Polynom \(\frac{A^m-B^m}{A-B}\), wo \(A, B\) relativ prim zu einander sind. Sind \(A, B\) selbst \(m^{\text{te}}\) Potenzen, so nehmen jene Divisoren einen noch specielleren Charakter an u. s. f. Andere Unterfälle bilden sich je nach der Natur des Factors \(n\). Der Herr Verfasser bedient sich für seine Zwecke eines eigentümlichen, aber einfachen Index Algorithmus, wodurch es ihm gelingt, die auftretenden complicirten Congruenzen zu lösen.
Ein Beispiel zu dem zweiten Hauptfall ist das Polynom: \[ 2^{72}-2^{63}+2^{45}-2^{36}-2^{27}-2^9+1. \] Dieses ist selbst eine Primzahl, und zwar von der Form \(n.3^35+1\).

MSC:
11N32 Primes represented by polynomials; other multiplicative structures of polynomial values
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Full Text: DOI Numdam EuDML