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On integrals of total differentials and on a class of algebraic surfaces. (Sur les intégrales de différentielles totales et sur une classe de surfaces algébriques.) (French) JFM 16.0296.01
Mit Bezugnahme auf eine Note des Verfassers in den C. R. Dec. 1884 (vgl. das Referat p. 293 (JFM 16.0293.01)), betreffend die allenthalben endlich bleibenden Integrale totaler algebraischer Differentialgleichungen, die Integrale erster Gattung genannt werden, wird nachstehender Satz ohne Beweis mitgeteilt: Stellt \(f(x, y, z)=0\) eine Oberfläche \(m^{\text{ter}}\) Ordnung mit nur gewöhnlichen Singularitäten (im Sinne der citirten Note) dar, so lautet die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass man die Coordinaten \(x,y,z\) eines Punktes durch vierfach periodische Functionen mit zwei Parametern ausdrücken könne und jedem Punkte nur ein einziges System von Werten der beiden Parameter, abgesehen von Vielfachen der Perioden, entspreche, wie folgt:
“Die Oberfläche hat eine Doppelcurve von der Ordnung \(\frac{m(m-4)}{2}\) und besitzt zwei Integrale erster Art \[ \int\frac{Bdx-Ady}{f_z'}\quad \text{und}\;\int\frac{B_1dx-A_1dy}{f_z'}, \] für welche die Determinante \(AB_1-BA_1\) nicht identisch Null ist.” Die beiden vorstehenden Integrale haben vier Paare von simultanen Perioden und die beiden totalen Differentialgleichungen \[ \frac{Bdx-Ady}{f_z'}=du,\quad\;\frac{B_1dx-A_1dy}{f_z'}=dv \] bestimmen für \(x\) und \(y\) eindeutige vierfach periodische Functionen von \(u\) und \(v\).

MSC:
34C08 Ordinary differential equations and connections with real algebraic geometry (fewnomials, desingularization, zeros of abelian integrals, etc.)
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Full Text: Gallica