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Répartition des matrices en espèces et formation de toutes les espèces. (French) JFM 17.0109.02

(Siehe auch JFM 17.0109.02) Ist \(M\) eine Matrize der Ordnung \(n\) mit den latenten Wurzeln \({\mu}_{\alpha}, {\mu}_{\beta}, \dots , {\mu}_{\lambda}\) und sind \(\alpha, \beta, \dots , \lambda\) die Grade der Multiplicität dieser Wurzeln, \({\alpha}_1, {\beta}_1, \dots, {\lambda}_1\) die Grade der Nullität der Matrizen \(M -{\mu}_{\alpha}, M -{\mu}_{\beta}, \dots, M -{\mu}_{\lambda}\) dann genügt \(M\) der Gleichung \[ (M -{\mu}_{\alpha})^{\alpha -{\alpha}_1 +1}. (M -{\mu}_{\beta})^{\beta -{\beta}_1 +1} \dots (M -{\mu}_{\lambda})^{\lambda -{\lambda}_1 +1} =0. \] Wenn die Grade der Nullität von \[ M -{\mu}_{\alpha},(M -{\mu}_{\alpha})^2, \dots, (M -{\mu}_{\alpha})^{\varrho} \] bezw. gleich \[ {\alpha}_1, {\alpha}_1 +{\alpha}_2, \dots , {\alpha}_1 +{\alpha}_2 + \cdots +{\alpha}_{\varrho} = \alpha \] sind, so heissen \({\alpha}_1, {\alpha}_2, \dots {\alpha}_{\varrho}, \alpha\) die Charakteristik der Wurzel \({\mu}_{\alpha}\). Zwei Matrizen \(M, N\) der Ordnung \(n\) mit denselben Wurzeln und entsprechend gleichen Charakteristiken heissen “von gleicher Art”. Man kann dann stets Matrizen finden, für die \(N = Q^{-1}MQ\) wird. Es giebt stets Matrizen der Ordnung \(n\) mit vorgeschriebenen Wurzeln und gegebenen Charakteristiken.

Citations:

JFM 17.0109.02
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Full Text: Gallica