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Sur les groupes de certaines équations différentielles linéaires. (French) JFM 17.0298.02

Die bestimmten Integrale \[ \int_g^h(u-a_1)^{b_1-1}(u-a_2)^{b_2-1}\dots(u-a_n)^{b_n-1}(u-x)^{\lambda-1}du, \] wo \(g\) und \(h\) irgend zwei der Grössen \[ a_1,\;a_2,\dots,a_n,\;x,\;\infty \] bezeichnen, genügen, als Functionen von \(x\) betrachtet, bekanntlich einer linearen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, die Herr Pochhammer in Borchardt J. LXXI. (siehe F. d. M. II. 1870. 265, JFM 02.0265.01) entwickelt hat. Die singulären Punkte der Gleichung sind \(a_1,\;a_2,\dots,a_n,\;\infty\), und die bei einem Umlauf von \(x\) um diese Punkte eintretenden Wertänderungen der Integrale, aus denen die fundamentalen Substitutionen der Gruppe der Gleichung sich ergeben, lassen sich aus der obigen Integralform selbst ableiten. Das dabei anzuwendende Verfahren führt der Verfasser für \(n=2\) und \(n=3\) aus und erhält dabei die bezüglichen Gruppen. Wir bemerken übrigens, dass dieser Weg schon längst von verschiedenen Mathematikern eingeschlagen worden ist, und verweisen hierfür auf die Arbeiten des Herrn Fuchs (Borchardt J. LXXI., siehe F. d. M. II. 1870. 248, JFM 02.0248.01) und des Herrn Hossenfelder (Clebsch Ann. IV., siehe F. d. M. III. 1871. 161, JFM 03.0161.01).

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