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Contributions to the Analysis situs.I.Communication. (Beiträge zur Analysis situs. I. Mitteilung.) (German) JFM 17.0523.02

Leipz. Ber. 314-325 (1885).
Diese Beiträge schlingen ein neues Band um die Topologie von berandeten oder geschlossenen Flächen und die bezüglichen analityschen Bestimungsstücke derselben. In ersterer Richtung stützen sie sich auf Ideen von Möbius, in letzterer auf Begriffe von Herrn Kronecker. Es handelt sich immer um die Aufstellung der Grundzahl einer irgendwie, anschaulich oder analytisch, gegebenen Fläche. Eine beiden Zwecken angepasste Definition der Grundzahl bezieht sich auf ein auf der Fläche verzeichnetes Curvensystem, so dass durch jeden Punkt eine und nur eine Curve des Systems hindurchgeht, und nur in einer endlichen Zahl von Punkten mehrere Curvenzweige einmünden. Solcher Punkte im Innern, resp. auf dem Rande der Fläche, von denen je \(n\) Curvenzweige auslaufen, seien \(p^{i}_{n}\) resp. \(p^{r}_{n}\) vorhanden (wo \(n\) auch unendlich sein kann). Dann gilt für die Riemann-Neumann’sche Grundzahl \(G\) der Fläche die Formel: \[ 2G-4=\sum(n-2)p^{i}_{n}+\sum(n-1)p^{r}_{n}-2p^{i}_{\infty}. \] Der Beweis wird zuvörderst an einem einfachsten Fall demonstrirt, und dann durch successive Umformung der betreffenden Fläche auf die allgemeinste Fläche übertragen. Ist nun \(f(x,y,z)=0\) die Gleichung der Fläche, und \(K\) die Kronecker’sche Charakteristik des Functionensystems \[ f=0,\quad{} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad{} \frac{\partial f}{\partial y}=0,\quad{} \frac{\partial f}{\partial z}=0, \] so resultirt die bedeutsame Ralation: \[ G=-2K+2. \] Das hierbei in Betracht kommende Curvensystem auf der Fläche ist etwa das durch die Ebene \(z \) = const. ausgeschnittene. In ähnlicher Weise ergiebt sich für die Grundzahl des von einer ebenen Curve \(f(x,y)=0\) eingeschlossenen Raumes \((f<0)\) \[ G=-K+2 \] wenn \(K\) die Charakteristik des Functionensystems \[ f=0,\quad{} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad{} \frac{\partial f}{\partial y}=0 \] bezeichnet. Von anderer Seite her ist auch Herr Poincaré auf Beziehungen der erwähnten Art gestossen.

MSC:

51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
51N10 Affine analytic geometry
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53A15 Affine differential geometry
53D50 Geometric quantization