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On surfaces of constant curvature with a system of spherical lines of curvature represented by means of theta functions of two variables. (Die Flächen constanter Krümmung mit einem System sphärischer Krümmungslinien dargestellt mit Hülfe von Thetafunctionen zweier Variabeln.) (German) JFM 18.0425.01
Führt man bei den Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien die Bedingung der Constanz des Krümmungsmasses ein, so erhält man als eine Folge davon die Eigenschaft, dass die Centra der osculirenden Kugel auf einer Geraden liegen. Die Ausdrücke für die rechtwinkligen Coordinaten \(X_1, X_2, X_3\) einer Fläche constanten Krümmungsmasses mit einem System sphärischer Krümmungslinien sind daher in jenen allgemeineren Formeln enthalten, welche der Herr Verfasser in seiner Arbeit “Ueber die Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien” (Kronecker J. XCIV. 116-161) unter III d. auf den Seiten 153-155 für die Coordinaten derjenigen Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien aufgestellt hat, deren Mittelpunktscurve eine gerade Linie ist (\(\S\) 1). Die darin vorkommenden, im genannten allgemeineren Falle willkürlichen Functionen \(p_1, p_2\) und \(q_1, q_2\) der Parameter \(u,v\) der Krümmungslinien genügen in Folge der Constanz des Krümmungsmasses gewissen Differentialgleichungen (Gleichungen (25) des \(\S\) 3 und Gleichungen (20) des \(\S\) 2), auf Grund deren sich, wie der Herr Verfasser in den \(\S\S\) 4, 5 und 6 zeigt, die Functionen \(p_1, p_2\) mit Hülfe von Thetafunctionen einer Veränderlichen, die Functionen \(q_1, q_2\) mit Hülfe von Thetafunctionen zweier Veränderlichen als Functionen von \(u\) und \(v\) darstellen lassen (Gleichungen (33) des \(\S\) 4 und (43) des \(\S\) 6). Die Ausdrücke für die Coordinaten \(X_1, X_2, X_3\) der in Rede stehende Fläche enthalten ferner zwei Systeme von je neun Grössen, \(l_h, m_h, n_h\; (h=1,2,3)\) das eine, \(\lambda_h, \mu_h, \nu_h\) \((h=1,2,3)\) das andere, die einzeln den Bedingungsgleichungen einer orthogonalen Substitution und gewissen Differentialgleichungen genügen, deren Integration auf Schwierigkeiten stossen würde, wenn man nicht durch den Umstand, dass die Functionen \(p\) und \(q\) durch Thetafunctionen darstellbar sind, von vorneherein auf die Vermutung käme, die gesuchten orthogonalen Systeme möchten mit dem bekannten aus den neun Quotienten der zehn geraden Thetafunctionen gebildeten orthogonalen Systeme in nahem Zusammenhange stehen. Von dieser Annahme ausgehend gelingt dem Herrn Verfasser die Bestimmung der Grössen \(l,m,n\) (Gleichungen (48) des \(\S\) 8) und \(\lambda, \mu, \nu\) (Gleichungen (49) des \(\S\) 8) ohne Mühe. Im Schlussparagraphen wird dann noch gezeigt, dass das Krümmungsmass der in ihren Coordinaten im Vorangehenden bestimmten Fläche in der That ein constantes ist.

MSC:
53A10 Minimal surfaces in differential geometry, surfaces with prescribed mean curvature
14K25 Theta functions and abelian varieties
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References:
[1] Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen aus dem Jahre 1868, p. 421–443.
[2] a. a. O. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen aus dem Jahre 1868, p. 425, Gleichungssystem (7).
[3] a. a. O. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen aus dem Jahre 1868, p. 426, (10) und p. 431, vierte Gleichung von (26).
[4] a. a. O. Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen aus dem Jahre 1868, p. 426, (11).
[5] Crelle’s Journal, Bd. 94, p. 153–155.
[6] Vgl. darüber die Abhandlung vonHoppe, Crelle’s Journal, Bd. 63, p. 122.
[7] Vgl.Weber,Anwendung der Thetafunctionen etc., Mathematische Annalen, Bd. 14, p. 182, Gleichungssystem (9).
[8] Anmerkung. Es sei mir an dieser Stelle die Notiz gestattet, dass dieKrazerschen Formeln (B 2) und (C 2), (p. 35 und 37), an Inhalt und Umfang zu folgendem Theorem zusammengefasst werden können: Bedeuten (\(\epsilon\)) und (\(\eta\)) zwei beliebige Charakteristiken,w 0 die Charakteristik (0),u 1,u 2 undv 1,v 2 zwei Paare veränderlicher Argumente und wird $$ \(\backslash\)begin{array}{*{20}c} {( - I)\^{(w_\(\backslash\)alpha )(w_\(\backslash\)beta )’} e\^{ - \(\backslash\)frac{{\(\backslash\)pi i}} {2}\(\backslash\)left( {\(\backslash\)varepsilon \(\backslash\)eta } \(\backslash\)right)(w_\(\backslash\)alpha w_\(\backslash\)beta )’} \(\backslash\)vartheta (\(\backslash\)varepsilon w_\(\backslash\)alpha w_\(\backslash\)beta )(u).\(\backslash\)vartheta (\(\backslash\)eta w_\(\backslash\)alpha w_\(\backslash\)beta )(v) = \(\backslash\)Theta _{a\(\backslash\)beta } } \(\backslash\)\(\backslash\) {\(\backslash\)left( \(\backslash\)begin{gathered} \(\backslash\)alpha = 0, I, 2, 3 \(\backslash\)hfill \(\backslash\)\(\backslash\) \(\backslash\)beta = 0, 4, 5, 6 \(\backslash\)hfill \(\backslash\)\(\backslash\) \(\backslash\)end{gathered} \(\backslash\)right)} \(\backslash\)\(\backslash\) \(\backslash\)end{array} $$ gesetzt, so bilden die 16 -Producte $$ \(\backslash\)begin{array}{*{20}c} {\(\backslash\)Theta _{00} } & {\(\backslash\)Theta _{04} } & {\(\backslash\)Theta _{05} } & {\(\backslash\)Theta _{06} } \(\backslash\)\(\backslash\) {\(\backslash\)Theta _{10} } & {\(\backslash\)Theta _{14} } & {\(\backslash\)Theta _{15} } & {\(\backslash\)Theta _{16} } \(\backslash\)\(\backslash\) {\(\backslash\)Theta _{20} } & {\(\backslash\)Theta _{24} } & {\(\backslash\)Theta _{25} } & {\(\backslash\)Theta _{26} } \(\backslash\)\(\backslash\) {\(\backslash\)Theta _{30} } & {\(\backslash\)Theta _{34} } & {\(\backslash\)Theta _{35} } & {\(\backslash\)Theta _{36} ,} \(\backslash\)\(\backslash\) \(\backslash\)end{array} $$ einzeln dividirt durch einen gemeinsamen Nenner, die Coefficienten einer orthogonalen Substitution, deren Determinante den Werth $$\(\backslash\)left( { - I} \(\backslash\)right)\^{\(\backslash\)left( {w_1 } \(\backslash\)right)\(\backslash\)left( {w_2 } \(\backslash\)right)’ + \(\backslash\)left( {w_4 } \(\backslash\)right)\(\backslash\)left( {w_5 } \(\backslash\)right)’} $$ hat. Dieses Theorem ist zuerst von HerrnF. Caspary aufgestellt worden, aber nur für besondere Werthe von (\(\epsilon\)) und (\(\eta\)) (Crelle’s Journal, Bd. 94, p. 77).
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