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Contributions to Analysis situs II. (Beiträge zur Analysis situs II.) (German) JFM 18.0454.01

Leipzig Ber. 53-69 (1886).
Der Verfasser setzt hier seine Untersuchungen (cf. F. d. M. XVII. 523, JFM 17.0523.02) über den Zusammenhang zwischen der Grundzahl einer Fläche und der Kronecker’schen Charakteristik eines gewissen Functionensystems fort, indem er zunächst noch einmal, in systematischerer und zugleich allgemeinerer Weise, als das erste Mal, den Begriff der Grundzahl (Charakteristik) einer Fläche (Mannigfaltigkeit) rein geometrisch aufbaut. Den Eingang bildet die Bestimmung der Charakteristik “linearer” Mannigfaltigkeiten, als deren einfachste Vertreter im Gebiete von einer resp. zwei, drei Dimensionen das begrenzte Stück einer Geraden, das Innere einer geschlossenen sich nicht selbst durchsetzenden ebenen Curve, resp. räumlichen Fläche erscheinen.
Das Entstehen eines solchen “Elementargebildes” zählt jedesmal + 1, das Verschwinden \(-1\). Jede “Punktirung” einer Strecke erhöht die Charakteristik um 1; das Gleiche gilt für einen geschlossenen Raum, während bei der ebenen Fläche ein Abzug von 1 stattfindet. Entsprechend wächst bei der ebenen Fläche die Charakteristik um 1 durch das Auftreten einer “Querlinie”, nimmt aber beim Raume um 1 ab.
Endlich erteilt für den Raum eine “Querfläche” der Charakteristik einen Zuwachs von 1. Das allgemeine Gesetz für höhere lineare Mannigfaltigkeiten ist daraus leicht zu entnehmen. Aus den linearen Flächen und Räumen erwachsen “geschlossene” Mannigfaltigkeiten \(M_2\) und \(M_3\) indem man sich eine paarweise Zuordnung und Vereinigung der Begrenzungs-Curven, resp. -Flächen gegeben denkt. Auch auf diese Mannigfaltigkeiten ist der Begriff der Charakteristik sofort übertragbar, und es zeigt sich zugleich, dass die letztere Anzahl immer dieselbe bleibt, wie man sich die betreffende Mannigfaltigkeit auch entstanden denkt. Es gilt nämlich der allgemeine Satz, dass die Charakteristik einer aus beliebig vielen getrennten Teilen bestehenden Mannigfaltigkeit sich aus der Summe der Teilcharakteristiken zusammensetzt.
Der zweite Teil der Note beschäftigt sich mit dem allgemeinen Nachweis, dass, solbald die bez. Mannigfaltigkeit durch eine Gleichung \(f=0\) gegeben vorliegt, die Charakteristik derselben sich mit der Kronecker’schen Charakteristik des durch \(f\) und seine ersten Differentialquotienten gebildeten Fuctionensystems deckt.
Als eine interessante Anwendung ergiebt sich die Existenz je zweier Anzahlrelationen zwischen den “besonderen” (d. h. Doppel- resp. Knoten-) Punkten eines beliebigen einfach-unendlichen Systems von ebenen Curven resp. Flächen.

MSC:

53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
53A07 Higher-dimensional and -codimensional surfaces in Euclidean and related \(n\)-spaces
53D05 Symplectic manifolds (general theory)
53D50 Geometric quantization
57N16 Geometric structures on manifolds of high or arbitrary dimension

Citations:

JFM 17.0523.02