×

Ueber algebraische Correspondenzen und das verallgemeinerte Correspondenzprinzip. (German) JFM 18.0626.01

Leipz. Ber. 10-38 (1886).
Bei seinen Untersuchungen über die Klassenanzahl-Relationen höherer Stufen stiess der Verfasser auf eine eigentümliche Schwierigkeit. Es musste die Anzahl der Coincidenzen einer Klein’schen Modularcorrespondenz einmal auf arithmetischem Wege, zweitens aber direct ermittelt werden, sodass in das Resultat nur die charakteristischen Zahlen der Correspondenz eingingen. Bei einer \((\alpha, \beta)\)-deutigen Correspondenz auf einer algebraischen Curve vom Geschlecht \(p\) war für die fragliche Anzahl \(C\) bisher nur die Cayley-Brill’sche Formel (das “verallgemeinerte Correspondenzprinzip”) bekannt: \[ C=\alpha+\beta+2p\gamma, \] unter \(\gamma\) eine gewisse positive ganze Zahl (die “Wertigkeit”) verstanden. Es erwies sich aber in den vorliegenden Fällen die erwähnte Formel als unzureichend, und dies veranlasste den Verfasser, sich die ganz allgemeine Fragestellung über die Art aller auf algebraischen Curven überhaupt möglichen Correspondenzen, sowie über die zugehörigen Coincidenzanzahlen vorzulegen. Dies gelang ihm in der That in befriedigeder Weise, indem er von den bisher gebrauchten algebraisch-geometrischen Untersuchungsmethoden abging und die Theorie der Abel’schen Integrale erster Gattung in Verbindung mit den bezüglichen \(\vartheta\)-Functionen zur Hülfe heranzog. Daher bezeichnet die vorliegende Arbeit in diesem Sinne eine durchaus neue Wendung in der Theorie der Correspondenzen.
Es sollen gleich im voraus die Resultate des Verfassers angegeben werden. Zunächst stellte sich heraus, dass das obige “verallgemeinerte Correspondenzprinzip” umfassendere Geltung besitzt, als man bisher annahm: es ist auch anwedbar auf die grosse Klasse von Correspondenzen (von denen specielle Fälle allerdings schon früher betrachtet waren), für welche die Fälle allerdings schon früher betrachtet waren), für welche die Wertigkeits-Zahl \(\gamma\) einen negativen (ganzzahligen) Wert hat.
Diese können auf einer gegebenen Curve freilich nicht mehr durch eine einzige algebraische Gleichung von der Form: \[ \psi (x_1, x_2, x_3; \quad y_1, y_2, y_3)=0 \] (wo \(x\) und \(y\) entsprechende Punkte sind), wohl aber in der anderen: \[ \frac {\psi_1}{\psi_2}=0, \] wo der Nenner im Zähler nicht aufgeht, oder auch durch das simultane Bestehen zweier Gleichungen der ersten Art: \[ \psi=0, \psi^1=0 \] dargestellt werden.
Ausser diesen beiden Hauptklassen von Correspondenzen (positiver resp. negativer Wertigkeit) existirt dann aber noch die specielle Gattung der “singulären” Correspondenzen auf “singulären” Curven, nämlich solcher, die gewisse vorgeschriebene Bedingungen erfüllen müssen. Diese dritte Art von Correspondenzen kann zwar auch immer (auf mannigfaltige Art) durch das Zusammenbestehen zweiter Gleichungen der letzterwähnten Form repräsentirt werden, dagegen bedarf für sie die Correspondenzformel einer eingreifenden Erweiterung, indem an Stelle der einen Zahl \(\gamma\) eine grössere, aber immer fest besimmte Anzahl \(\mu\) von “Charakteren” \(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_{\mu}\) in der Weise eintritt, dass die Coincidenzzahl den Wert \[ C=\alpha+\beta+c_1\lambda_1+c_2\lambda_2+\dots+c_{\mu}\lambda_{\mu} \] annimmt, wo die ganzen Zahlen \(c_1, c_2, \dots, c_{\mu}\) von der jeweils betrachteten Correspondenz unabhängig sind.
Solcher Natur sind gerade die Klein’schen Modularcorrespondenzen: die entsprechenden singulären Curven werden durch die Galois’sche Resolvente der Modulargleichungen dargestellt.
Ueber die neue Methode des Verfassers sei Folgendes bemerkt. Denkt man sich zwischen zwei Stellen \(x\) und \(y\) einer algebraischen Curve (oder Riemann’schen Fläche) eine analytische Abhängigkeit derart, dass jeder Stelle \(x\) immer \(\alpha\) Stellen \(y\) correspondiren, so ergiebt sich zuvörderst aus functionentheoretischen Prinzipien, dass auch umgekehrt zu jeder Stelle \(y\) eine bestimmte, endliche Anzahl \(\beta\) von Stellen \(x\) gehört.
Bildet man, unter \(u_k\) eines der \(p\) unabhängigen, endlichen Integrale der Fläche verstanden, die über sämtliche \(\alpha\) Stellen \(y\) erstreckte Summe \(\sum u_k(y)=U_k(x)\), so ist diese Grösse \(U_k(x)\) wiederum ein endliches Integral der Fläche, setzt sich also aus den \(p\) Integralen \(u_k\) (die auf die Riemann’sche Normalform gebracht seien) linear zusammen: \[ U_k(x) = \sum \pi_{ki} u_i(x)+\pi_k. \] Das Bestehen dieser \(p\) Integralgleichungen erweist sich als äquivalent mit \(p^2\) ganzzahligen Relationen zwischen den bekannten \(\frac{p(p+1)}{2}\) Periodicitätsmoduln \(a_{ik}\), Relationen, welche die vorgelegte Correspondenz vollständig charakterisiren.
Je nachdem nun dieselben hinsichtlich der \(a_{ik}\) identisch erfüllt sind oder nicht, hat man zwei Hauptfälle zu unterscheiden, welche den “Wertigkeitscorrespondenzen” einerseits, den “singulären Correspondenzen” andererseits entsprechen. Für die ersteren ergiebt sich die Correspondenzformel, indem man aus \(\vartheta\)-Functionen, deren Argumente sich aus den \(x\) und \(y\) geeignet zusammensetzen, eine algebraische Function construirt, dagegen an den \(\alpha\) Stellen \(y\), die einem beliebigen \(x\) entsprechen, sowie an den \(\beta\) Stellen \(x\), die einem beliebigen \(y\) correspondiren, einfach unendlich wird, endlich \(\gamma\)-fach an gewissen weiteren \(2p\) Stellen. Hierbei bedeutet \(\gamma\) eine ganze Zahl, die (im Verein mit \(\alpha, \beta,p\)) die Correspondenz völlig charakterisirt, indem die Integralsumme \(U_k(x)\) hier sich durch \(u_k(x)\) allein ausdrücken lässt: \[ U_k(x)=-\gamma u_k(x)+\pi_k. \] Da aber bekanntlich eine algebraische Function an gleichviel Stellen Null und unendlich wird, so hat man unmittelbar: \[ C=\alpha+\beta+2p\gamma. \] Ganz ähnlich leitet man auf diesem Wege auch die Zahl der, zwei Correspondenzen \((\alpha, \beta, p; \gamma)\), \((\alpha', \beta', p; \gamma')\) gemeinsamen Stellenpaare ab, nämlich \(\alpha\beta'+\alpha'\beta-2p\gamma\gamma'\), eine Zahl, die von Hrn. Brill für positive \(\gamma\) bereits bewiesen war.
Dieselbe Betrachtung bildet endlich im Grunde auch für die singulären Correspondenzen bestehen, nur dass man mehrerer solcher algebraischen Functionen, wie der oben erwähnten, bedarf, die man, auf passende Potenzen erhoben, miteinander zu multipliciren hat, um die Correspondenz vollständig und rein darzustellen.

Full Text: EuDML Link