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Zur Theorie des von Hall entdeckten elektromagnetischen Phänomens. (German) JFM 18.1033.01
a) In einer vor Wirkung der Magnetkraft isotropen Platte, auf welcher die (nach der \(z\)-Axe gerichteten) Kraftlinien senkrecht stehen, lassen sich bekanntlich die Maxwell’schen Strömungsgleichungen schreiben: \[ \begin{aligned} & (1)\quad u+hv=-\kappa\;\frac{dP}{dx},\quad v-hu= - \kappa\;\frac{dP}{dy},\\ & (2)\quad \;\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dy}=0.\end{aligned} \] Diese Gleichungen lassen sich einmal, wie Maxwell thut, durch eine Veränderung des Körpers in Folge der Magnetkraft erklären, indem dadurch die Molecüle eine spiralige Anordnung erhalten. Sie lassen sich aber auch durch eine directe Wirkung der Magnetkraft auf die Elektricität erklären. Schreibt man nämlich \(v=-\kappa\;\frac{dP}{dy}+hu,\) so erscheint \(hu\) als eine elektromotorische Kraft nach der \(y\)-Axe in Folge der Wirkung der Magnetkraft \(M\) auf den nach der \(x\)-Axe gehenden Strom, welche Wirkung nach dem Biot-Savart’schen Gesetz erfolgt, wobei man aber die Geschwindigkeit der positiven und negativen Elektricität als verschieden annehmen muss, weil sonst beide gleich bewegt werden würden. Es sei \(e\) die Menge der positiven Elektricität in der Längeneinheit, ihre Geschwindigkeit \(a+2b,\) die Menge der negativen Elektricität \(e_1\), ihre Geschwindigkeit \(a\); bezeichnet \(J_s\) und \(J_m\) die elektrostatische und elektromagnetische Stromintensität, \(g\) ihr Verhältnis, so muss \( e(a+2b)=e_1a=\frac 12\, J_s=\frac 12\, g J_m\) sein. Die ponderomotorische Kraft ist nun \(= MJ_m =\frac 1g\, MJ_s,\) wovon nach dem Weber’schen Gesetz die eine Hälfte \(\frac 1g\, Me(a+2b)\) auf die positive Elektricität, die andere \(\frac 1g\, Me_1 a\) auf die negative Elektricität wirkt; auf die Einheit der positiven resp. negativen Elektricität wirkt also die Kraft \(\frac 1g\, M(a+2b)\) und \(\frac 1g\, Ma,\) oder Kraft \(\frac 1g\, M(a+b)\) auf beide in derselben Richtung, die Kraft \(\frac 1g\, Mb\) auf beide in entgegengesetzter Richtung. Letztere ist die Hall’sche Kraft; sie entspricht einer Potentialdifferenz zwischen zwei um \(\beta\) von einander entfernten Punkten \(E_s=\frac 1g \,Mb\beta\) oder \(E_m=Mb\beta.\)
b) Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt \[ (3)\quad \begin{cases} u = - \;\frac{\kappa}{1+h^2}\left(\frac{dP}{dx} - h\;\frac{dP}{dy} \right), \\ v = - \;\frac{\kappa}{1+h^2}\left(\frac{dP}{dy}+h\;\frac{dP} {dx}\right),\quad \;\frac{d^2P}{dx^2}+\frac{d^2P}{dy^2}=0,\end{cases} \] oder wenn man \(h=\text{tg\,}\gamma\) setzt, \[ (3^{\mathrm a})\quad \begin{cases} n = - \;\frac{\kappa}{\sqrt{1+h^2}}\left(\frac{dP}{dx}\cos\gamma +\frac{dP}{dy}\sin \gamma\right). \\ v = -\frac{\kappa}{\sqrt{1+h^2}}\left(\frac{dP}{dx}\sin\gamma +\frac{dP}{dy}\cos \gamma\right). \end{cases} \] Ist also das Potential an den Elektroden gegeben, und erstreckt sich die Platte nach allen Seiten ins Unendliche, so wird \(P\) durch die Wirkung der Magnetkraft nicht geändert, dagegen werden die Stromlinien, welche bei nicht erregtem Magnet auf den Aequipotentiallinien senkrecht stehen, um den Winkel \(\gamma\) gedreht. Hat die Platte einen freien Rand, so ist derselbe vor der Erregung des Magneten eine Stromlinie; wird nun der Magnet plötzlich erregt, so bilden die Stromlinien mit dem Rand einen Winkel \(\gamma\); durch die hierdurch auf dem Rand erzeugte freie Elektricität werden aber die Aequipotentiallinien in entgegengesetztem Sinne um den Winkel \(\gamma\) gedreht, sodass der Rand wieder eine Stromlinie wird. Z. B. bei einer rechteckigen Platte von der Länge \(\lambda,\) Breite \(\beta\) und Dicke \(\delta\), deren Seiten \(\beta\) die beiden Elektroden sind, ist vor Erregung des Magneten, d. h. für \(h=0,\) \[ P=-ax+b,\quad u=\kappa a, \quad v=0. \] Ist nun \(\beta\) sehr gross gegen \(\lambda\), so kann man die Platte als nach der \(y\)-Richtung unendlich annehmen, erhält also bei Erregung des Magneten nach Gleichung (3) \[ P=-ax+b,\quad u=\frac{\kappa a}{1+h^2},\quad v=\frac{\kappa ah}{1_h^2}\,. \] Ist dagegen \(\beta\) verschwindent klein gegen \(\lambda\), so verhält sich das Innere der Platte wie der freie Rand, es wird also \[ n =\kappa a,\quad v=0,\quad P=-ax+hay+c. \] In diesem Falle ist der Hauptstrom \(J=\kappa\alpha\beta\delta,\) die Hall’sche Potentialdifferenz zwischen zwei gegenüberliegenden Randpunkten \[ E = - \;\frac{dP}{dy}\;\beta = -ha\beta, \] also das von Hall so genannte Rotationsvermögen \[ R =\frac{E\delta}{MJ} =\frac{h}{\kappa M}\cdot \] Schliesslich berechnet der Verfasser noch die Strömung in einer kreisförmigen Platte mit beliebigen Einströmungspunkten.

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