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Zur Theorie der binären Formen. (German) JFM 19.0109.01
Um für ein vorgelegtes System von binären Formen eine in allen Fällen gültige canonische Darstellung zu finden, stützt sich der Verfasser auf ein Lemma, welches die Lehre von den Ueberschiebungen zweier binären Formen auf die Behandlung gewisser linearen Differentialgleichungen zurückführt. Dieses Lemma lautet:
Sind \(U\) und \(V\) zwei binäre Formen bezw. von der \(n^{\mathrm{ten}}\) und \(m^{\mathrm{ten}}\) Ordnung in den homogenen Veränderlichen \(x\) und \(y\), so gilt die Identität: \[ \begin{split} \frac{y^\kappa}{\kappa !}\;(U,V)_\kappa = {n\choose \kappa} U\;\frac{\partial^\kappa V}{\partial x^\kappa} - {n-1 \choose \kappa-1} {m-\kappa+1 \choose 1} \;\frac{\partial U}{\partial x} \;\frac{\partial^{\kappa-1} V}{ \partial x^{\kappa-1}} + \cdots\\ \cdots + (-1)^\kappa {m\choose \kappa} \;\frac{\partial^\kappa U}{\partial x^\kappa} V. \end{split} \] Hieraus ergeben sich ohne Schwierigkeit mit Hülfe bekannter Sätze aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen die folgenden Theoreme:
I. Giebt es \(\kappa\) linear unabhängige Formen \(V_0, V_1,\dots, V_{\kappa-1}\) von der \(m^{\mathrm{ten}}\) Ordnung, deren \(\kappa^{\mathrm{te}}\) Ueberschiebungen über eine binäre Form \(U\) von der \(n^{\mathrm{ten}}\) Ordnung identisch verschwinden, so ist jede andere Form \(V\) von der \(n^{\mathrm{ten}}\) Ordnung, deren \(\kappa^{\mathrm{te}}\) Ueberschiebung über \(U\) verschwindet, eine lineare Combination der Formen \(V_0,V_1,\dots,V_{\kappa-1}\). Zugleich ist die Determinante \[ \varDelta=\begin{vmatrix}\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ \;\frac{\partial^{\kappa-1} V_0}{\partial x^{\kappa-1}} & \frac{\partial^{\kappa-1} V_0}{\partial x^{\kappa-2}\partial y} & \dots & \frac{\partial^{\kappa-1} V_0}{\partial y^{\kappa-1}} \\ \;\frac{\partial^{\kappa-1} V_1}{\partial x^{\kappa-1}} & \frac{\partial^{\kappa-1} V_1}{\partial x^{\kappa-2}\partial y} & \dots & \frac{\partial^{\kappa-1} V_1}{\partial y^{\kappa-1}} \\ \vdots & \vdots& & \vdots \\ \;\frac{\partial^{\kappa-1} V_{\kappa-1}}{\partial x^{\kappa-1}} & \frac{\partial^{\kappa-1} V_{\kappa-1}}{\partial x^{\kappa-2}\partial y} & \dots & \frac{\partial^{\kappa-1} V_{\kappa-1}}{\partial y^{\kappa-1}} \end{vmatrix} \] bis auf einen constanten und von Null verschiedenen Factor gleich der \(\frac{\kappa(m-\kappa+1)^{\mathrm{ten}}}{n}\) Potenz der Form \(U\).
II. Wenn für \(\kappa\) binäre Formen \(V_0,V_1,\dots,V_{\kappa-1}\) von der \(\kappa^{\mathrm{ten}}\) Ordnung die obige Determinante dem Ausdrucke \[ \varDelta = C(x-ay)^\lambda (x-by)^\mu (x-cy)^\nu\dots \]
\[ (\lambda+\mu+\nu+\cdots =\kappa) \] gleich wird, so lassen sich dieselben in die Gestalt bringen: \[ V_i=\varphi_i(x-ay)^{\kappa-\lambda+1} + \psi_i(x-by)^{\kappa-\mu+1}+\cdots, \]
\[ (i=0,1,\dots, \kappa-1), \] wo \(\varphi_i,\psi_i,\dots\) passend gewählte Formen bezw. von der Ordnung \(\lambda-1,\mu-1,\dots\) sind.
Durch die nämlichen Mittel erledigt der Verfasser im besonderen die Frage nach der canonischen Darstellung einer einzigen Grundform. Betreffs des obigen Lemmas vergleiche man die Dissertation des Referenten [D. Hilbert, Math. Ann. 30, 15–29 (1887; JFM 19.0114.01)].

MSC:
11Exx Forms and linear algebraic groups
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Full Text: Crelle EuDML