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Number theoretic investigations. (Talteoretiske undersögelser.) (Danish) JFM 19.0168.02
Zeuthen Tidskr. (5) 4, 70-80 (1886); 4, 130-137 (1886).
Der Gegenstand dieser Arbeit ist zunächst die Untersuchung der ganzzahligen Factoren einer Zahl \(a^t-1\). Ist \(t\), in Primfactoren aufgelöst, durch \[ t = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_n^{a_n} \] dargestellt, und \(M\) das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der Zahlen \[ a^{\frac {t}{p_1}} -1, a^{\frac {t}{p_2}} -1 , \dots , a^{\frac {t}{p_n}} -1, \] so ist insbesondere der Factor \[ F_t (a) = \frac {a^t - 1}{M} \] von Interesse. Derselbe wird eine ganzzahlige rationale Function von \(a\) sein vom Grade \(\varphi (t)\) und wird, mit einzelnen Ausnahmen, wenigstens einen Primfactor von der Form \(\alpha t+1\) enthalten. Als Consequenz der entwickelten Sätze folgt ein einfacher Beweis des Satzes, dass in jeder arithmetischen Reihe, deren erstes Glied 1 ist, unendlich viele Primzahlen enthalten sind, also ein specieller Fall des allgemeineren Satzes von Dirichlet. Ferner giebt der Verfasser den folgenden Satz: Geht \(t\) in \(a^n-1\) auf, so giebt es unendlich viele Primzahlen, welche nicht mit \(1, a, a^2, \dots , a^{n-1}\) modulo \(t\) congruent sind.

MSC:
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11B25 Arithmetic progressions
Keywords:
prime factor
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