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Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. I, II. (German) JFM 20.0368.03
Math. Ann. 31, 252-290 (1888); 33, 1-48 (1889).
Diese beiden Abhandlungen enthalten ausserordentlich wichtige Beiträge zur Theorie der Zusammensetzung der endlich continuirlichen Transformationsgruppen.
Unter der Zusammensetzung einer \(r\)-gliedrigen Gruppe \(X_1f,\ldots,X_rf\) versteht man nach Lie das System der Constanten \(c_{iks}\) in den Gleichungen:
\[ (X_iX_k)=\sum_{s=1}^r c_{iks}X_sf \qquad (i,k=1,\dots,r); \tag{1} \]
diese Constanten \(c_{iks}\) erfüllen die Relationen:
\[ c_{iks}+c_{kis}=0,\quad \displaystyle\sum_{\nu=1}^r(c_{ik\nu}c_{\nu js}+c_{kj\nu}c_{\nu is}+c_{ji\nu}c_{\nu ks})=0\quad (i,k,j,s=1,\dots,r); \tag{2} \]
und umgekehrt stellt jedes System von \(c_{iks}\), welches die Relationen (2) befriedigt, die Zusammensetzung einer \(r\)-gliedrigen Gruppen dar.
Der Ausgangspunkt des Herrn Killing ist die Aufgabe, alle zweigliedrigen Untergruppen der Gruppe \(X_1f,\ldots,X_\nu f\) zu finden, welche die eingliedrige Untergruppe \(\eta_1X_1f+\dots+\eta_r X_r f\) enthalten; diese Aufgabe führt, wie schon Lie gezeigt hat, im allgemeinen auf eine Gleichung \(r\)-ten Grades, welches lautet:
\[ \begin{vmatrix} \sum_\varrho c_{\varrho 11}\eta_\varrho-\omega, &\dots, &\sum_\varrho c_{\varrho r1}\eta_\varrho\\ \hdotsfor3\\ \sum_\varrho c_{\varrho 1r}\eta_\varrho, &\dots, &\sum_\varrho c_{\varrho rr} \eta_\varrho-\omega\end{vmatrix}= \omega^r-\psi_1(\eta)\cdot\omega^{r-1}+\psi_2(\eta)\cdot\omega^{r-2}-\cdots\pm\psi_{r-1}(\eta)\cdot\omega=0 \tag{3} \]
(das von \(\omega\) freie Glied der Determinante verschwindet nämlich identisch). Herr Killing nennt diese Gleichung “die charakteristische Gleichung der Gruppen \(X_1f,\ldots,x_rf\)”. Er macht nun die neue und wichtige Bemerkung, dass die Functionen \(\psi_1(\eta),\ldots,\psi_{r-1}(\eta)\) sämtlich bei der von Lie sogenannten “adjungirten” Gruppe der Gruppe \(X_1f,\ldots,X_rf\) invariant bleiben, nämlich bei der linearen homogenen Gruppe: \[ X_kf+\sum_{is}^{1,\dots,r}\;c_{iks}\eta_i\;\frac{\partial f} {\partial\eta_s}\quad (k=1,\ldots,r), \] welche mit der Gruppe \(X_1f,\ldots,X_sf\) isormorph ist. Den Beweis für die Invarianz der Functionen \(\psi(\eta)\) führt Herr Killing mit Hülfe merkwürdiger Relationen, welche er aus den Gleichungen (2) zwischen den \(c_{iks}\) ableitet. Dies der Inhalt von §1-3.
Da die Anzahl \(l\) der von einander unabhängigen unter den Functionen \(\psi(\eta)\) offenbar eine charakteristische Eigenschaft der Gruppe \(X_1f,\dots,X_rf\) ist, so nennt Herr Killing diese Zahl den “Rang” der Gruppe. In §4 und 5 teilt er einige Sätze mit, welche sich zum Teil unmittelbar aus der Einführung des Rangbegriffes ergeben. In §6 betrachtet er zur Erläuterung des Gesagten zwei besonders wichtige Gruppen: erstens die allgemeine projective Gruppe des Raums von \(l\) Dimensionen, und zweitens die grösste projective Gruppe in \(m+1\) Veränderlichen, welche die Form zweiten Grades \(x_1^2+\cdots+x_{m+1}^2\) invariant lässt. Von diesen beiden Gruppen hat die erste den Rang \(l\), die zweite den Rang \(\frac12(m+1)\) oder \(\frac12m\), je nachdem \(m\) gerade ist oder ungerade. Für beide Gruppen giebt Herr Killing eine bemerkenswerte Darstellung der Invarianten der zugehörigen adjungirten Gruppen.
In §7 und 8 erledigt Herr Killing die Frage nach der Zusammensetzung aller \(r\)-gliedrigen Gruppen \(X_1f,\dots,X_rf\), welche folgende Eigenschaften besitzen: 1) Unter den infinitesimalen Transformationen: \[ (X_iX_k)=\sum_{s=1}^rc_{iks}X_sf\quad (i,k=1,\ldots,r) \] sollen gerade \(r\) von einander unabhängige vorhanden sein.
2) Die charakteristische Gleichung (3) soll für allgemeine Werte von \(\eta_1,\ldots,\eta_r\) bloss eine einfache verschwindende Wurzel haben, es soll also nicht zu jeder infinitesimalen Transformation der Gruppe \(X_1f,\ldots,X_rf\) eine mit ihr vertauschbare vorhanden sein. Der §9 enthält Untersuchungen über die Gruppen vom Range Null, bei welchen die \(r-l\) Functionen \(\psi(\eta)\) sämtlich identisch verschwinden; doch wird keine explicite Darstellung dieser Gruppen gegeben.
Die zweite Abhandlung (§10–18) beschäftigt sich mit dem Falle, dass die charakteristische Gleichung (3) eine mehrfache verschwindende Wurzel hat. Ich erwähne die folgenden Sätze:
Aus §10: “Hat für ein Wertsystem \(\eta_1,\dots,\eta_r\) die charakteristische Gleichung (3) gerade \(k\) verschwindende Wurzeln, so gehört die Transformation \(\eta_1X_1f+\cdots+\eta_rX_rf\) einer \(k\)-gliedrigen Untergruppe der Gruppe \(X_1f,\dots,X_rf\) an.”
“Verschwinden die Functionen \(\psi_{r-1}(\eta),\dots,\psi_{r-k+1}(\eta)\) alle identisch, während \(\psi_{r-k}(\eta)\) nicht identisch Null ist, so ist jede infinitesimale Transformation \(\eta_1X_1f+\cdots+\eta_rX_rf\) in einer \(k\)-gliedrigen Untergruppe vom Range Null enthalten.”
“Ist die Voraussetzung des vorhergehenden Satzes erfüllt und enthält ausserdem noch die Gruppe \(X_1f,\dots,X_rf\) keine ausgezeichnete infinitesimale Transformation, so verschwinden für \(\omega=0\) alle \((r-k+1)\)-reihigen Unterdeterminanten der Determinante (3), und die betreffende \(k\)-gliedrige Untergruppe besteht aus paarweise vertauschbaren Transformationen.”
Der letzte Satz wird leider bloss für den Fall bewiesen, dass die \(r-k\) nicht verschwindenden Wurzeln der charakteristischen Gleichung sämtlich von einander verschieden sind; er wird allerdings auch in §11-18 nur für diesen Fall benutzt. In einer neueren Abhandlung [Math. Ann. 34, 57 ff.] hat übrigens Herr Killing den Beweis auch für den allgemeinen Fall durchgeführt.
Aus §11: “Enthält eine \(r\)-gliedrige Gruppe vom Range \(l\) keine ausgezeichnete infinitesimale Transformation, so gehört jede ihrer infinitesimalen Transformationen einer mindestens \(l\)-gliedrigen Untergruppe mit paarweise vertauschbaren infinitesimalen Transformationen an.”
Aus §12: “Enthält die \(r\)-gliedrige Gruppe \(X_1f,\ldots,X_rf\) keine ausgezeichnete infinitesimale Transformation, giebt es ferner unter den Transformationen \((X_iX_k)\,(i,k=1,\ldots,r)\) gerade \(r\) von einander unabhängige, und besitzt endlich die charakteristische Gleichung (3) für allgemeine Werte von \(\eta_1,\ldots,\eta_r\) gerade \(l\) verschwindende und \(r-l\) von einander und von Null verschiedene Wurzeln, so lassen sich die \(r-l\) nicht verschwindenden Wurzeln als lineare homogene Functionen von \(l\) unter ihnen darstellen, die Coefficienten dieser Functionen sind rationale Zahlen, die Zahl \(l\) ist der Rang der Gruppe.”
Der §12 enthält noch weitere merkwürdige Beziehungen zwischen den Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Von diesen Beziehungen ausgehend, gelangt Herr Killing in §13 zu gewissen linearen homogenen Substitutionen mit ganzzahligen Coefficienten. In §13–15 untersucht er diese Substitutionen und bestimmt ihre möglichen Formen; in §16 endlich zeigt er, welche Bedeutung die betreffenden Substitutionen für die Gruppe \(X_1f,\dots, X_rf\) haben, und gelangt namentlich dazu, die Beschaffenheit dieser Substitutionen für eine einfache Gruppe \(X_1f,\dots, X_rf\) festzustellen. In §17 und 18 werden die gewonnenen Sätze zur Bildung der Zusammensetzungen einfacher Gruppen angewandt.
Das Endergebnis der Killingschen Arbeit ist, soweit ich sehe, die Kenntnis aller möglichen Zusammensetzungen, welche eine einfache Gruppe haben kann. Unter diesen Gruppen finden sich solche von bisher ganz unbekannter Beschaffenheit.
Alles in allem verdankt die Theorie der Transformationsgruppen den beiden Killingschen Abhandlungen eine wesentliche Bereicherung ihrer Ergebnisse und ihrer Methoden.

MSC:
57S17 Finite transformation groups
22-XX Topological groups, Lie groups
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