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On hyperelliptic sigma functions. ( Second treatise. ). (Ueber hyperelliptische Sigmafunctionen. (Zweite Abhandlung).) (German) JFM 20.0491.01
In einer ersten unter dem vorstehenden Titel veröffentlichen Abhandlung (Math. Ann. XXVII. 431-464, vergl. dieses Jahrbuch XVIII. 1886. 418, JFM 18.0418.02) hat der Herr Verfasser gezeigt, dass sich die Definition der \(\sigma\)-Functionen, die Herr Weierstrass zunächst nur für den Fall \(p=1\) gegeben hat, bei zweckmässiger Deutung der Weierstrass’schen Formeln in einfacher und naturgemässer Weise auf den Fall \(p=2\) übertragen lässt. Während aber in dieser Abhandlung die \(\sigma\)-Functionen aus den \(\vartheta\)-Functionen abgeleitet werden, erscheinen in der gegenwärtigen die \(\sigma\)-Functionen als der natürliche Durchgangspunkt, um vom hyperelliptischen Gebilde zu den zugehörigen \(\vartheta\)-Functionen zu gelangen. Andererseits erstrebt der Herr Verfasser in der gegenwärtigem Abhandlung die Erweiterung aller Entwickelungen auf hyperelliptische Functionen beliebigen Geschlechts. Es werden dementsprechend in den Art. 7 und 8 die hyperelliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Gattung für beliebiges \(p\) behandelt, und insbesondere als Integral dritter Gattung jenes schon in der früheren Abhandlung hervorgehobene Integral \(\varTheta_{xy}^{x'y'}\) aufgestellt, welches dadurch ausgezeichnet ist, dass der Zähler eine ganze Covariante von \(f\) ist; es werden sodann weiter in Art. 9 die allgemeinen \(\sigma\)-Functionen definirt und , nachdem in Art. 10 einige Eigenschaften derselben, in den Art. 11, 12 und 13 ihre Reihenentwickelung nach steigenden Potenzen der ihnen zu Grunde liegenden Integralsummen \(w_1,w_2,\dots,w_p\) und in Art. 14 ihre Periodicität behandelt worden ist, aus ihnen die zu dem vorgelegten hyperelliptischen Gebilde gehörigen \(\vartheta\)-Functionen abgeleitet, die auf diese Weise, ebensowie die \(\vartheta\)-Functionen selbst, explicit definirt erscheinen.

MSC:
11F50 Jacobi forms
14H42 Theta functions and curves; Schottky problem
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus
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