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Sur l’orientation des systèmes de droites. (English) JFM 20.0686.01

Der Begriff der “Orientirung” eines Systems von geraden Linien rührt von Laguerre her; die Fruchtbarkeit und Bedeutung dieses neuen Princips für die Theorie ebener Curven wird durch die vorliegende ausserordentlich elegante Abhandlung ins hellste Licht gesetzt.
Laguerre definirt: Wenn in einer Ebene zwei Systeme von Geraden, \(A\) und \(A'\), gegeben sind, wenn in derselben Ebene eine feste Axe \(H\) beliebig angenommen wird, wenn endlich die Summe der Winkel zwischen \(H\) und den Geraden des Systems \(A\) sich von der analogen Summe für das System \(A'\) nur um ein Vielfaches von \(\pi\) unterscheidet, soll gesagt werden, die beiden Systeme haben “gleiche Orientirung”. Diese Eigenschaft ist offenbar unabhängig von der Lage von \(H\) und hängt nur von den Richtungen der gegebenen Geraden ab.
Herr Humbert giebt dieser Definition folgende interessante und schärfere analytische Form: Zu den \(n\) Geraden des Systems \(A\) seien durch den Anfangspunkt der Coordinaten die \(n\) Parallelen \(y-a_\lambda x=0\) \((\lambda=1,2,\dots,n)\) gezogen; es sei ferner \[ f(x,y)=\prod_{\lambda=1}^n(y-a_\lambda x), \] so kann die Orientirung des Systems \(A\) durch den Bruch \(\frac{f(1,i)}{f(-1,i)}\) definirt werden. Mit Leichtigkeit ergiebt sich daraus das Fundamentaltheorem: Damit ein veränderliches System von \(n\) Geraden, dessen Gleichung einen Parameter rational enthält, dieselbe feste Orientirung behalte, ist nötig und hinreichend, dass jedesmal, wenn eine oder mehrere Geraden des Systems durch einen der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene gehen, eine eben so grosse Zahl anderer Geraden des Systems durch den andern Kreispunkt gehen.
Wenn nun unter den bisher unbestimmt gelassenen Geraden fortan Tangenten algebraischer Curven verstanden werden, so bieten sich zwei Hauptfragen dar. Einerseits: Wie muss eine Familie algebraischer Curven beschaffen sein, damit die Systeme der von einem festen Punkte an jede einzelne Curve der Familie zu legenden Tangenten dieselbe Orientirung haben? Andererseits: Wie muss eine algebraische Curve beschaffen sein, damit das System der von einem veränderlichen Punkte an dieselbe zu legenden Tangenten constante Orientirung habe?
Der Verfasser verfolgt zunächst das letztere Problem; es zeigt sich, dass die fragliche Curve ihre sämtlichen Brennpunkte im Unendlichen haben muss. Diese Bedingung wird z. B. erfüllt von allen den algebraischen Hypocykloiden, welche entstehen, wenn ein Kreis im Innern eines grösseren Kreises rollt. Die einfachste derselben ist die so häufig studirte “Hypocykloide mit drei Spitzen”. (Die Literatur über dieselbe giebt u. a. Perlewitz im Prog. des Sophien-Realgymnasiums Berlin, Ostern 1890.) Die Tangenten-Eigenschaft, welche hier auf diese Curve geführt hat, scheint bisher noch nicht bemerkt worden zu sein; sie lässt sich in Verbindung bringen mit einem bekannten Resultat aus der Darstellung mittels elliptischer Functionen, auch liefert sie verschiedene Sätze über umbeschriebene Dreiecke und Vierecke der Curve. Der fruchtbarste von diesen lautet: Durch jede Ecke eines der Hypocykloide umbeschriebenen Dreiecks geht eine neue Tangente der Curve; die drei so bestimmten Tangenten bilden ein neues Dreieck, das dem ersten ähnlich ist. Hiervon ausgehend, kann man nämlich die Fragen beantworten, ob die Reihe der auf diese Weise abzuleitenden Dreiecke unendlich ist, in welchen Fällen sich schliesslich eines der gefundenen Dreiecke auf einen Punkt reducirt, in welchen Fällen die Reihe periodisch wird, wobei reine und unreine Perioden auftreten können, in welcher Weise die Reihe rückwärts fortgesetzt werden kann, u. s. w.
In Verfolg des anderen oben genannten Hauptproblems wird man sich alsbald auf den Fall beschränken, wo die Curven-Familie den Parameter linear enthält; man bekommt dann Sätze über die Brennpunkte einer Schar von algebraischen Curven \(n^{\text{ter}}\) Klasse, Sätze, welche durch die Einführung des ebenfalls von Laguerre herrührenden Begriffs des “harmonischen Centrums eines Punktsystems in Bezug auf einen andern Punkt” einer eleganten geometrischen Deutung fähig sind. Wird dabei \(n=2\) angenommen, so hat man die Schar der einem Vierseit einbeschriebenen Kegelschnitte; der Ort ihrer Brennpunkte ist eine kubische Curve, welche ausser den beiden Kreispunkten noch ihren singulären Brennpunkt enthält, d. h. ihre Tangenten in den beiden Kreispunkten schneiden sich auf der Curve selbst. Enthält die Schar einen Kreis, so hat diese kubische Curve dessen Mittelpunkt zum Doppelpunkt und wird nach Quetelet “focale à noeud” genannt; sie tritt auch bei einigen die confocalen Flächen zweiten Grades betreffenden Aufgaben auf.
Zum Schluss verspricht der Verfasser eine weitere Arbeit, welche die Eigenschaften des harmonischen Centrums der Brennpunkte von Klassencurven ausführlicher behandeln soll.

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