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Sur les lignes de courbure et les lignes asymptotiques des surfaces. (French) JFM 20.0802.02
Aus dem Satze von Poincaré über die Differentialgleichung \(F(y,y',x)=0\), wo \(F\) ein Polynom in \(y\) und \(y'\) ist (dass, wenn das Geschlecht der Relation 0 ist, die Integration auf eine Riccati’sche Gleichung, wenn 1, auf Quadraturen, wenn \(>1\), auf rein algebraische Operationen zurückkommt), werden Folgerungen auf die Berechnung der asymptotischen und Krümmungslinien gezogen, namentlich auf zwei Fragen: nach der Relation der Parameter \(\alpha,\beta\) auf gegebener Fläche und nach der Fläche, wenn erstere gegeben ist. Sind \(x,y,z\) rational in \(\beta\), so reduciren sich die Differentialgleichungen auf die Form \[ {\beta'}^2+p_2(\alpha,\beta)\beta'+p_4(\alpha,\beta)=0, \] wo \(p_2\) und \(p_4\) vom zweiten und vierten Grade in \(\beta\) sind. Ist die Wurzel \(\beta'\) rational, so ergeben sich zwei Riccati’sche Gleichungen; andernfalls sind entweder zwei Wurzeln des Polynoms gleich, die zwei andern verschieden (das Geschlecht 0), oder vier Wurzeln verschieden (das Geschlecht 1); in beiden letztern Fällen muss die Grösse unter dem Wurzelzeichen, gleich Null gesetzt, das Integral sein. In der umgekehrten Frage sei \(\beta\) rational in \(x,y,z\); hier ist es notwendig und hinreichend, dass die Rückkehrpunkte der untersuchten Linien und die Punkte der Berührung mit den Linien \(\alpha=\) const. auf gewissen Linien \(\alpha=\) const. verteilt sind. Hiervon werden zahlreiche Anwendungen gemacht.

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Full Text: Gallica