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Zur Theorie der algebraischen Gebilde. II, III. (German) JFM 21.0102.01
Gött. Nachr. 1889, 25-34 (1889); 1989, 423-430 (1889).
Diese beiden Noten enthalten eine Weiterführung der im JFM (siehe [Math. Ann. 33, 223–226 (1889; JFM 20.0110.01); Math. Ann. 31, 482–492 (1888; JFM 20.0110.02)]) besprochenen Entwickelungen des Verfassers, welche sich auf die Endlichkeit gewisser Systeme von algebraischen Formen bezogen.
Es lässt sich darauf eine einheitliche Theorie der “charakteristischen” Zahlen (Dimension, Ordnung, Geschlechter, Rang etc.) eines algebraischen Gebildes gründen, was in der zweiten Note geschieht.
Sind nämlich \(A_{11}, A_{12}, \dots , A_{lm}\) gegebene ganze Functionen der \(n\) homogenen Variabeln \(x_1, x_2, \dots , x_n\), so besass ein System von \(l\) Gleichungen der Form: \[ A_{s1} X_1 + A_{s2} X_2 + \cdots + A_{sm} X_{m} = 0 \quad \quad (s = 1,2, \dots , l) \] eine endliche Zahl \(p\) von Lösungen der \(X\), sodass jede weitere Lösung sich aus jenen linear combiniren lässt.
Bildet man nun ein zweites lineares System von \(m\) Gleichungen mit \(p\) Unbekannten \(Y\), deren Coefficienten gerade jene \(p\) Lösungen der \(X\) sind, so kann man denselben Satz von neuem anwenden u. s. f. Es gilt nun der grundlegende Satz, dass das bezeichnete Verfahren spätestens nach \(n\)-maliger Anwendung sein Ende erreicht, d. h. man gelangt zu einem Gleichungssysteme, welches keine Lösung mehr besitzt. Der nicht leichte Beweis wird wiederum durch Zurückführung des Falles von \(n\) Variabeln auf den von \(n - 1\) Variabeln geführt und durch einfache Beispiele erläutert.
Beschränkt man sich nunmehr auf eine einzige lineare Gleichung der genannten Art, so entsteht die Frage nach der Anzahl der linear von einander unabhängigen Formen \(A\) von einer gegebenen Ordnung \(\xi\), welche Ausdrücken von der Gestalt \[ A = A_1 X_1 + A_2 X_2 + \cdots + A_m X_m \] identisch gleich sind.
Die gesuchte Anzahl ergiebt sich in der Form einer ganzen, ganzzahligen Function \(\chi\) der Ordnung \(\xi\), deren Coefficienten daher für die gegebene Gleichung charakteristische ganze Zahlen sind.
Es ist damit die Anknüpfung an die Kronecker’sche Theorie der “Modulsysteme” von selbst gegeben, nur dass hier die Homogeneität der “Moduln” \(A_1, A_2, \dots , A_m\), bezw. der \(\chi\), eine wesentliche Voraussetzung bildet.
Insofern heisst die obige ganze Function \(\chi\) die “charakteristische Function” jenes Modulsystems.
Für den Fall binärer Formen \(A\) insbesondere nimmt die charakteristische Function den Wert Null an, und das volle Lösungssystem besteht aus \(m - 1\) von einander unabhängigen Lösungen.
Es ist so der Satz bewiesen (der bereits früher vom Referenten als Postulat formulirt worden ist):
“Besitzen die binären Formen \(A_1, A_2, \dots, A_m\) von der \(p^{\text{ten}}\) Ordnung nicht sämtlich einen gemeinsamen Factor, so besteht das volle Lösungssystem der Gleichung \[ A_1 X_1 + A_2 X_2 + \cdots + A_m X_m = 0 \] aus \(m - 1\) von einander unabhängigen Lösungen, sodass die Summe der Ordnungen dieser Lösungen der Zahl \(p\) genau gleichkommt.”
Um diese Ergebnisse etwa auf das Gebilde einer Raumcurve anzuwenden, hat man nur unter \(A_1 = 0, \dots , A_m = 0\) die Gleichungen eines geschlossenen Systems von Flächen zu verstehen, welche durch die Curve hindurchgehen.
Die Coefficienten der charakteristischen Function \(\chi (\xi)\) stehen dann mit den charakteristischen Zahlen der Curve im engsten Zusammenhange.
Eine fruchtbare Anwendung finden die Methoden des Verfassers unter anderem in der Theorie der in neuerer Zeit vielfach behandelten “beschränkten Gleichungssysteme”.
In der dritten Note wendet sich der Verfasser zu seinen ersten Endlichkeitssätzen zurück und macht sie für zahlentheoretische Zwecke dadurch geeignet, dass sämtliche auftretenden Formen zu ganzzahligen werden, wozu neue Beweise erforderlich sind.
Zum Schlusse wird darauf hingewiesen, wie die Existenz eines “vollen Systems” von Invarianten auch bei gewissen Substitutionen erhärtet werden kann, deren Gruppe eine specielle ist.

MSC:
11Exx Forms and linear algebraic groups
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