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Note on the eight points of intersection of three surfaces of the second order. (Note sur les huit points d’intersection de trois surfaces du second ordre.) (French) JFM 21.0652.04
In den letzten Jahrzehnten waren die Untersuchungen mehrerer Geometer darauf gerichtet, aus 7 von den 8 Schnittpunkten dreier Flächen zweiter Ordnung auf möglichst einfache Weise den achten Schnittpunkt zu finden. Diesem Zweck entsprechend, hatte man die besonderen Lageneigenschaften der durch solche acht Punkte erzeugten Figur auch nur rücksichtlich der Auffindung solcher Constructionen studirt. In der vorliegenden inhaltreichen Arbeit des Herrn Dobriner (siehe JFM 21.0652.03) werden aber alle Eigenschaften jener Figur ohne Rücksicht auf Construction eines achten Punktes um ihrer selbst willen studirt. Der Ausgangspunkt der interessanten und fruchtbaren Untersuchung ist naturgemäss der Satz, den Hesse im J. für Math. XXVI über die acht Schnittpunkte dreier Flächen zweiter Ordnung bewiesen hat, und der ausspricht, dass die Schnittlinie der Verbindungsebene der drei Punkte \(A, B', C'\) mit der Verbindungsebene \(A', B, C\) in einer und derselben Ebene mit denjenigen beiden Punkten liegt, in denen erstens die Verbindungsebene von \(E, B, C\) von der Verbindungsgeraden \(AD\), und in denen zweitens die Verbindungsebene von \(E, B', C'\) von der Verbindungsgeraden \(A'D\) getroffen wird. (Der Leser zeichne sich, um sich die Vorstellung zu erleichtern, in der Ebene der drei Punkte \(A, A', D\) die Spuren der auftretenden Geraden und Ebenen). Herr Dobriner geht nun von folgendem Zusammenhang zwischen so entstehenden Hesse’schen Ebenen und Pascal’schen Geraden aus. Es bezeichne das Symbol (012, 3; 457, 6) diejenige Hesse’sche Ebene, welche durch die Schnittgerade (012, 457) und die beiden Punkte (23, 567) und (34, 016) bestimmt ist. Wenn nun die Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 im Grenzfalle in einer und derselben Ebene liegen, so wird die letztere von der Hesse’schen Ebene in einer Geraden geschnitten, auf welcher die drei Punkte (12, 45), (23, 56), (34, 61) liegen müssen, und welche die Pascal’sche Gerade (123456) genannt wird. Natürlich wurden hier mit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 die 8 gemeinsamen Punkte dreier Flächen zweiter Ordnung bezeichnet. Die so aufgestellte Beziehung zwischen den Hesse’schen Ebenen und den Pascal’schen Linien liess über das Flächen-Octupel, wie wir hier kurz die aus den 8 Schnittpunkten dreier Flächen zweiten Grades entstehende Figur nennen wollen, Sätze vermuten, die in dem oben angedeuteten Sinne Verallgemeinerungen der interessanten Sätze von Steiner, Kirkman, Cayley und Salmon über Pascal’sche Linien eines ebenen Kegelschnitt-Sechsecks sind. Derartige Sätze stellt der Verfasser viele auf. Ueber die Configuration aller denkbaren 5040 Hesse’schen Ebenen eines Flächen-Octupels, der auf ihnen liegenden 280 Linien, d. h. Schnittlinien der Verbindungsebenen von zweimal drei aus den acht Punkten, und der auf ihnen liegenden 560 Punkte \(V\), d. h. Schnittpunkte einer Verbindungsebene dreier Punkte mit einer Verbindungsgeraden zweier anderen Punkte, ergiebt sich, dass jede Hesse’sche Ebene eine Linie \(L\), auf ihr sechs Punkte \(V\) und ausserdem noch zwei Punkte \(V\) enthält, dass ferner durch jede Linie \(L\) 18 Hesse’sche Ebenen gehen, und dass endlich von jedem Punkte \(V\) drei Linien \(L\) ausgehen, sowie 54 Hesse’sche Ebenen, für welche \(V\) in einer Linie \(L\) liegt, und noch 18 Hesse’sche Ebenen, für welche \(V\) nicht in einer \(L\) liegt, die in der betreffenden Ebene gelegen ist. Definirt man als Linie \(\varLambda\) die Verbindungslinie der beiden \(V\)-Punkte (32, 567) und (45, 210) oder jedes anderen Paares von \(V\)-Punkten, das daraus hervorgeht, wenn man 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 durch eine beliebige Permutation ersetzt, so entstehen 5040 Linien \(\varLambda\) die mit den 5040 Hesse’schen Ebenen eine Configuration bilden, so dass jede Ebene vier Linien enthält und jede Linie vier Ebenen entsendet. Im Anschluss an diese mehr combinatorischen Betrachtungen beweist nun der Verfasser die schon erwähnten Sätze, welche im Grenzfall die hübschen Eigenschaften des Pascal’schen Sechsecks ergeben. Es würde die Grenzen eines Referats übersteigen, diese Sätze hier anzuführen. Beispielsweise sei nur erwähnt, dass die sechs Hesse’schen Ebenen, welche nach der obigen Definition die Symbole (012, 3; 456, 7), (120, 7; 635, 4), (071, 2; 435, 6), (720, 3; 645, 1), (127, 0; 635, 4), (072, 1; 435, 6) haben, sich in einem einzigen Punkte schneiden.
Im Anschluss an die eben besprochene Arbeit weist Herr Zeuthen in einem zweiten auf denselben Gegenstand bezüglichen Aufsatze auf das Interesse hin, das die Resultate des Herrn Dobriner auch schon deshalb hervorrufen, weil zu hoffen steht, dass sich nun noch allgemeinere Eigenschaften werden finden lassen, welche die acht Punkte des Flächen-Octupels in mehr gleichartiger Weise enthalten. In der That findet Herr Zeuthen in seiner Arbeit eine Reihe von interessanten, mehr symmetrischen Eigenschaften. Zunächst zeigt er, dass der grundlegende Hesse’sche Satz durch folgenden symmetrischen Satz ersetzt werden kann, derartig, dass dieser neue Satz aus dem Hesse’schen folgt, und dass auch umgekehrt der Hesse’sche aus dem neuen Satz folgt, welcher lautet: “Sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 die acht Schnittpunkte dreier Flächen zweiten Grades, so liegen die vier Schnittlinien der vier Verbindungsebenen-Paare \[ \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 5 & 6 & 7\end{matrix} \right\}, \quad \left\{ \begin{matrix} 2 & 3 & 4\\ 6 & 7 & 8\end{matrix} \right\}, \quad \left\{ \begin{matrix} 3 & 4 & 5\\ 7 & 8 & 1\end{matrix} \right\}, \quad \left\{ \begin{matrix} 4 & 5 & 6\\ 8 & 1 & 2\end{matrix} \right\} \] auf einer und derselben Fläche zweiter Ordnung. Diese vier Schnittlinien mögen Directrix-Linien der Fläche heissen, während die Linien der sie sämtlich schneidenden Regelschar “Erzeugende” heissen mögen. Den Sätzen von Steiner, Kirkman u. s. w. über die Pascal’schen Linien eines ebenen Kreissechsecks entsprechen dann Sätze über die aus einem Flächen-Octupel auf alle möglichen Weisen dem Zeuthen’schen Satze gemäss entstehenden Regelscharen. Namentlich ergiebt sich, dass, wenn man die aus den obigen vier Verbindungsebenen-Paaren entstehende Schar von Erzeugenden (12345678) nennt, sich noch 15 andere Scharen, wie z. B. (21345678), derartig aufschreiben lassen, dass die Erzeugenden der 16 Scharen einem linearen Complexe angehören. Ferner ergiebt sich, dass immer gewisse drei von solchen Complexen sich in einer und derselben Strahlen-Congruenz schneiden.

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