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Su certi gruppi associati di punti. (Italian) JFM 21.0671.01
Im \((n - 1)\)-dimensionalen Raume \(R_{n - 1}\) \((n \geqq 2)\) nennt man \(n\)-Eck das Gebilde, welches aus \(n\) beliebigen Punkten und aus den \(n\) \(R_{n - 2}\) besteht, welche durch je \(n - 1\) von ihnen bestimmt werden; die \(R_{n - 2}\), welche alle gegebenen Punkte mit Ausnahme von \(a_{i}\) enthält, wird die Gegenfläche von \(a_{i}\) genannt. Zwei Gruppen \(a_{1} a_{2} \dots a_{2n}\) und \(a_{1}' a_{2}' \dots a_{2n}'\), welche aus je \(2n\) Elementen eines Fundamentalgebildes \((n - 1)^{\text{ter}}\) Stufe bestehen, heissen associirt, wenn es in einem \(R_{n - 1}\) zwei \(n\)-Ecke giebt, welche die Eigenschaft haben, dass die Gruppe ihrer Scheitelpunkte der ersten, die Gruppe ihrer Flächen der zweiten der gegebenen Elementengruppen projectiv sind. Projicirt man auf zwei \(R_{n - 2}\) von \(a_{i}\) die Punkte \(a_{1}, \dots , a_{i - 1}, a_{i + 1}, \dots, a_{k - 1}, a_{k + 1}, \dots, a_{2n}\) und von \(a_{k}'\) die entsprechenden Punkte der zweiten Gruppe \(a_{1}', \dots, a_{i - 1}', a_{i + 1}', \dots, a_{k - 1}', a_{k + 1}', \dots, a_{2n}\), so erhält man zwei neue Gruppen associirter Punkte. Wendet man diesen Satz mehrmals an, so erhält man ein an Folgerungen reiches Theorem; von denselben führen wir nur die folgenden an:
“Sind zwei associirte Gruppen von je \(2n\) Elementen zweier \(R_{n - 1}\) gegeben, so bilden die Räume, welche \(n + 2\) Punkte einer der Gruppen aus den \(R_{n - 3}\), welche die anderen Punkte derselben Gruppen bestimmen, einen Büschel, der projectiv ist zur Punktreihe, welche die homologen \(n + 2\) Punkte der zweiten Gruppen auf der durch sie bestimmten rationalen Normalcurve bilden. Zwei Punktgruppen, welche derselben Gruppe associirt sind, sind unter einander projectiv. Verteilt man die Punkte einer Gruppe in zwei \(n\)-Ecke, und bildet man mit ihren homologen der associirten Gruppe zwei andere \(n\)-Ecke, so entsprechen die ersten \(n\)-Ecke den zweiten in einer Correlation.”
Der Verfasser drückt dann in einer neuen Form die notwendige und hinreichende Bedingung aus, damit zwei Gruppen associirt seien, und beweist die folgenden Sätze, welche als Verallgemeinerung zweier Theoreme von Clebsch (Math. Annalen Bd. VI) und Sturm (Ib. Bd. I) angesehen werden können:
“Wenn \(2n - 1\) Paare von homologen Punkten zweier associirten Gruppen in \(R_{n - 1}\) und \(R_{n - 1}'\) aus conjugirten Punkten einer Correlation zwischen \(R_{n - 1}\) und \(R_{n - 1}'\) bestehen, so hat auch das letzte Paar dieselbe Eigenschaft. Sind \(a_1 a_2 \dots a_{2n}\) und \(a_{1}' a_{2}' \dots a_{2n}'\) zwei in \(R_{n - 1}\) und \(R_{n - 1}'\) gelegene associirte Punktgruppen, so entspricht jeder \(R_{n - 3}\) von \(R_{n - 1}\) eine solche \(R_{n - 3}'\) von \(R_{n - 1}'\), so dass man hat \(R_{n - 3} (a_1 a_2 \dots a_{2n}) \barwedge R_{n - 3}' (a_{1}' a_{2}' \dots a_{2n}')\)”.
Andere Eigenschaften der associirten Punktgruppen findet der Leser in der Originalarbeit selbst. Wir begnügen uns damit, zum Schluss auf die Existenz von selbst associirten Punktgruppen von \(R_{n - 1}\) aufmerksam zu machen; als charakteristische Eigenschaft einer solchen Gruppe kann man entweder die ansehen, dass jede \((n - 2)\)-dimensionale quadratische Mannigfaltigkeit, welche \(2n - 1\) Punkte der Gruppe enthält, auch den \(2n^{\text{ten}}\) enthält; oder die, dass eine der besagten Gruppen aus zwei \(n\)-Ecken besteht, welche in einer Correlation von \(R_{n - 1}\) sich entsprechen.
Aus dem Gesagten wird der Leser sehr leicht ersehen, dass die besprochene Abhandlung eine Fülle von Verallgemeinerungen und Ergänzungen wichtiger Resultate enthält, welche besonders von Sturm (Math. Ann. I und XXII) und Rosanes (J. für Math. LXXXVIII u. XC) aufgestellt wurden; wir fügen noch hinzu, dass die Forschungsmethode des Herrn Castelnuovo der synthetischen Geometrie der mehrdimensionalen Räume angehört.

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References:
[1] Per il pianovedi Sturm:Das Problem der Projectivität (Math. Ann., I),Ueber Collineation und Correlation (Math. Ann. XXII); per il piano e lo spazio a tre dimensioni, le due memorie ricche di risultati del Rosanes:Ueber linear-abhängige Punktsysteme; Zur Theorie der reciproken Verwandschaften (Journal für Math. Bd. 88,90).
[2] Il gruppo di 2n punti diS n-I studiato al n{\(\deg\)} 14 è detto ilpiù semplice tra i gruppi di punti base di un sistema lineare di quadi iche, perchè in un gruppo composto di meno che 2n puntiappartenenti aS n-I il passaggio di una quadrica per alcuni non porta mai di conseguenza il passaggio per i rimanenti; questi ultimi gruppi non presentano quindi nessun interesse.
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