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Die geometrische Deutung von Invarianten räumlicher Collineationen und Reciprocitäten. (German) JFM 21.0772.02

Herr Pasch hat (Math. Ann. XXIII. 419) eine geometrische Deutung der bei der ebenen Collineation auftretenden Invariante gegeben. Ihr Verschwinden ist die Bedingung dafür, dass die Collineation sich in eingeschriebener Dreieckslage befindet. In Math. Ann. XXIX. 234 hat dann Herr Kraus für mehrere Collineationen die Deutung der simultanen Invarianten gegeben. Anschliessend an diese Arbeiten, beschäftigt sich der Verfasser mit der Deutung der Invarianten räumlicher Collineationen. Eine solche Collineation sei bestimmt durch: \[ f(x, u)= \varSigma a_{ik} x_{i} u_{k} \quad (i, k = 1, 2, 3, 4). \] Ist \(\varDelta = \varSigma \pm a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}\) und \(\alpha_{ik} = \text{adj\,} a_{ik}\), so giebt es hier drei Invarianten: \[ \begin{aligned} i & = a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44},\\ j & = \alpha_{11} + \alpha_{22} + \alpha_{33} + \alpha_{44},\\ \varphi & = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} + a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} + a_{11} a_{44} - a_{14} a_{41}\\ & + a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32} + a_{22} a_{44} - a_{24} a_{42} + a_{33} a_{44} - a_{34} a_{43}.\end{aligned} \] Ich hebe einige der Resultate hervor. Es seien \(a, a', a'', a''', a^{\text{IV}}\) solche Punkte, von welchen durch die Collineation jeder Punkt in den folgenden übergeführt wird.
Ist nun \(i = 0\), so liegen die Punkte \(a, a', a'', a^{\text{IV}}\) in einer Ebene, und es giebt \(\infty^{9}\) Tetraeder, welche ihren homologen einbeschrieben sind. Die Collineation \(f\) befindet sich in “eingeschriebener Tetraederlage”.
Ist \(j = 0\), so liegen die Punkte \(a, a'', a''', a^{\text{IV}}\) in einer Ebene, und die Collineation \(f\) befindet sich in “umschriebener Tetraederlage”.
Ist \(i = j = 0\), so liegen \(a, a'', a^{\text{IV}}\) in einer Geraden.
\(i = j = \varphi = 0\), so fällt \(a^{\text{IV}}\) nach \(a\); man hat es mit der Quadrupellage zu thun.
Die Betrachtung mehrerer Collineationen führt dann den Verfasser zu Sätzen, welche eine Erweiterung der von Herrn Kraus aufgestellten sind.

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