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Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung. (German) JFM 22.0100.01
Nach einer trefflichen kurzen historischen Uebersicht über die Beziehungen zwischen Kreisteilung und Zahlentheorie giebt der Verfasser selbst eine so vollständige Inhaltsangabe seiner Abhandlung, dass wir dieselbe wörtlich folgen lassen: “Der vorliegenden Abhandlung, welche durch die für 1885 und 1888 ausgeschriebene Preisfrage der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen veranlasst ist, liegt eine Verallgemeinerung der Kreisteilungsresolvente zu Grunde, nämlich eine aus \(m^{\text{ten}}\) und \(p^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln gebildete Zahl, welche ganz ähnliche Eigenschaften besitzt wie die gewöhnliche Resolvente; dabei bedeutet \(p\) eine Primzahl und \(m\) eine beliebig zusammengesetzte, aber durch \(p\) nicht teilbare Zahl. Zu diesen Resolventen stehen die Kummer’schen Zahlen \(\varPsi\) in ähnlicher Beziehung, wie die Jacobi’schen \(\psi\) zu den gewöhnlichen Resolventen. Ferner zerlegen sich unsere Resolventen stets in zwei Factoren, deren einer entweder eine gewöhnliche Resolvente oder gleich \(-p\) ist, während der andere nur von den \(m^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln abhängt und in gleicher Weise gebaut ist wie die besonderen, von Eisenstein untersuchten Summen, weshalb wir denselben als Eisenstein’sche Summe bezeichnen. – Die Analogie der gewöhnlichen und der verallgemeinerten Resolventen bewährt sich auch bei der Zerlegung derselben in ihre idealen Factoren; wenn \(p\) für den Modul \(m\) zum Exponenten \(f\) gehört, so verhält sich die allgemeine Resolvente ähnlich wie ein Product von \(f\) gewöhnlichen Resolventen. Vollständiger wird die Analogie, wenn man eine beliebige “Gruppe” von Resten nach dem Modul \(m\) betrachtet; sobald die Primzahl \(p\) dieser Gruppe angehört, kann man ein Product von Resolventen herstellen, dessen ideale Primfactoren von jenem Expenenten \(f\) gar nicht explicite abhängen, und das Gleiche gilt auch von dem Reste dieses Productes nach der niedrigsten Potenz eines idealen Primfactors von \(p\), durch die das Product nicht teilbar ist. Ist die Zahl \(m\) so beschaffen, dass \(-m\) eine Fundamentaldeterminante quadratischer Formen ist, und besteht die Restgruppe aus denjenigen (ungeraden positiven) Zahlen, für die das Jacobi’sche Zeichen \(\left(\frac {-m}k \right)\) den Wert \(+1\) hat, so werden unsere allgemeineren Producte wie die von Jacobi und Cauchy betrachteten zweiwertig und gegen daher die Darstellung einer gewissen Potzen von \(p\) durch die Hauptform jener Determinante; zugleich genügen die darstellenden Zahlen zwei linearen Congruenzen nach dem Modul \(p\), von denen jedoch nur eine von der gewählten Wurzel der Congruenz \(x^2+m\equiv 0\) (mod. \(p\)) unabhängig ist. Da der Exponent jener Potenz gleich der Klassenzahl der quadratischen Formen ist, so ist die Analogie mit den Sätzen von Jacobi und Cauchy eine vollständige; zur wirklichen Herstellung der quadratischen Zerfällungen reichen freilich unsere Formeln so wenig aus wie die der genannten Mathematiker, sobald die Klassenanzahl grösser als Eins ist.
Diese Resultate habe ich im Jahre 1888 der Gesellschaft der Wissenschaften vorgelegt in einer Abhandlung: “Theorie der Eisenstein’schen Summen u. s. w.”, von welcher die gegenwärtige eine Umarbeitung ist. In der neuen Fassung treten die Eisenstein’schen Summen mehr zurück als in der früheren, nachdem es mir seither gelungen ist, die Zerlegung der Resolventen in ihre idealen Primfactoren auf neuem Wege, nämlich ohne die Hülfe jener Summen, zu bewerkstelligen. Dieser neue Beweis findet sich in \(\S\) 6; er umfasst zugleich den in \(\S\) 5 gegebenen; wiewohl also \(\S\) 5 an sich entbehrlich ist, möchte ich ihn nicht beseitigen, da er immerhin das Verständnis von \(\S\) 6 nicht unwesentlich erleichtern dürfte. Auch sonst ist die Anordnung des zweiten Teils wesentlich geändert und \(\S\) 4 beträchtlich verkürzt, während in \(\S\) 1-3 nur untergeordnete redactionelle Aenderungen vorgenommen sind.
Die Theorie der idealen Zahlen ist in derjenigen Form benutzt, die ihr Herr Dekekind zuerst in der zweiten Auflage der Dirichlet’schen Vorlesungen über Zahlentheorie gegeben hat. Die wenigen speciell auf Kreisteilungskörper bezüglichen Sätze, welche hier gebraucht werden, finden sich in der dritten Auflage desselben Werkes in der Fussnote zu Seite 587 angegeben.”

MSC:
11R18 Cyclotomic extensions
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