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Algebraische Reduction der Scharen bilinearer Formen. (German) JFM 22.0169.01

Es sei \[ f=u\varphi+v\psi=\sum^r_{i=1}\sum^s_{k=1}f_{ik}x_iy_k \] eine Schar bilinearer Formen von \((x_1,x_2,\dots,x_r)\) und \((y_1,y_2,\dots,y_s)\). Dann sind alle Determinanten, welche man aus der rechteckigen Matrize \[ (f_{ik}) \quad\quad\quad\; \left(\begin{matrix} i=1,\dots,r \\ k=1,\dots,s \end{matrix}\right) \] der Coefficienten von \(f\) bilden kann, offenbar ganze homogene Formen der Unbestimmten \(u\) und \(v\). Ist nun allgemein \(D_i\) der grösste gemeinsame Teiler aller Unterdeterminanten der \(i^{\text{ten}}\) Ordnung der Matrize \((f_{ik})\), so bilden die Teiler \(D_1,D_2,D_3,\dots\) eine Reihe homogener ganzer Formen, von denen jede ein Teiler der folgenden ist. Setzt man also allgemein \(D_i=D_{i-1}\theta_i\), so erhält man auf rationalem Wege die folgende Zerlegung jener Formen \(D_i\): \[ D_i=\theta_1\theta_2\dots\theta_i \quad\quad\quad (i=1,2,\dots). \] Ist nun die Matrize \((f_{ik})\) für unbestimmte \(u\), \(v\) genau vom Range \(\tau\) d. h. ist \(\Theta_{\tau}\) die letzte der Formen \(\Theta\), welche nicht identisch verschwindet, so bleiben die \(\tau\) ganzen homogenen Functionen von \(u\), \(v\) \[ \theta_1(u,v),\dots,\theta_{\mu}(u,v) \] offenbar bei einer jeden linearen Transformation der Variabeln \(x_i\), \(y_k\) ungeändert, sie bilden also für das Formenpaar \([\varphi,\psi]\) ein System von Invarianten.
Ist nun die Anzahl beider Variabeln dieselbe, etwa gleich \(r\), und ist ferner die Determinante \(| f_{ik}|\) der Formenschar nicht identisch Null, d. h. ist auch \(\tau=r\), so ist wie bereits in der Weierstrass’schen Abhandlung vom Jahre 1868 (Berl. Ber. 310-338, F. d. M. I. 54, JFM 01.0054.04) nachgewiesen wurde, das oben aufgestellte Invariantensystem ein vollständiges, d. h. zwei Formenpaare \([\varphi,\psi]\) und \([\varphi',\psi']\) sind dann, und nur dann, simultan in einander transformirbar, wenn diese Invarianten für beide übereinstimmen.
Sind aber jene speciellen Voraussetzungen nicht erfüllt, so treten zu den oben aufgestellten Invarianten noch andere hinzu. Ist nämlich der Rang \(\tau\) von \((f_{ik})\) kleiner als mindestens eine der Anzahlen \(r\) und \(s\), so bestehen zwischen den \(r\) Ableitungen von \(f\) nach den Variabeln \(x_i\) genau \(\varrho=r-\tau\) von einander unabhängige Relationen, und ebenso zwischen den \(s\) Ableitungen nach den \(y_k\) genau \(\sigma=s-\tau\) von einander unabhängige lineare Relationen, deren Coefficienten ganze homogene Formen von (\(u\), \(v\)) sind. Denkt man sich nun beide Arten von Relationen so gewählt, dass ihre Dimensionen in Bezug auf (\(u\), \(v\)), welche beziehlich durch: \[ m_1,m_2,\dots,m_{\varrho} \quad\quad \text{und} \quad\quad \overline m_1, \overline m_2,\dots,\overline m_{\sigma} \] bezeichnet werden sollen, möglichst klein sind, so bleiben offenbar auch diese \(\varrho+\sigma\) ganzen Zahlen bei jeder simultanen Transformation des Formenpaares ungeändert.
Der grundlegende Nachweis dafür, dass die Gleichheit der hier gefundenen Invarianten \[ \text{(J)} \quad \theta_1,\theta_2,\dots,\theta_{\tau}; \quad\quad \begin{matrix} m_1, m_2,\dots, m_{\varrho} \\ \overline m_1,\overline m_2,\dots,\overline m_{\varrho} \end{matrix} \] für die Aequivalenz zweier Formenpaare nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend ist, wird nun dadurch geführt, dass ein beliebiges Formenpaar \([\varphi,\psi]\) in ein “reducirtes” Paar \([\varPhi,\varPsi]\) transformirt wird, welches durch die in dem Schema (J) enthaltenen Invarianten eindeutig bestimmt ist; denn hieraus folgt ja unmittelbar, dass die Reduction zweier Formensysteme \([\varphi,\psi]\) und \([\varphi',\psi']\), denen ein und dasselbe Invariantensystem (J) angehört, auf dasselbe reducirte Formenpaar \([\varPhi,\varPsi]\) führen muss.
Aus der in den beiden ersten Abschnitten dieser Arbeit durchgeführten Reduction der Formenschar \(f=u\varphi+v\psi\) ergiebt sich nun, dass jede Formenschar \(f\) stets und nur auf eine Weise in eine “reducirte Schar” von der Form: \[ \sum_{\mu,\nu}\{(U+w^{(\nu)}V)\varPhi^{(\nu)}_{\mu}+V\varPsi^{(\nu)}_{\mu}\} \quad\quad (\mu,\nu=1,2,\dots) \] transformirt werden kann, in der die elementaren Formen \(\varPhi^{(\nu)}_{\mu}\) und \(\varPsi^{(\nu)}_{\mu}\) durch die Gleichungen: \[ \begin{aligned} & \varPhi^{(\nu)}_{\mu}=\sum_{\kappa,\lambda}\;X^{(\nu)}_{\kappa\mu}\, Y^{(\nu)}_{\lambda\mu} \quad\quad (\kappa+\lambda=e^{(\nu)}_{\mu}-1,\;\kappa=0,1,\dots,e^{(\nu)}_{\mu}-1),\\ & \varPsi^{(\nu)}_{\mu}=\sum_{\kappa,\lambda}\;X^{(\nu)}_{\kappa\mu}\, Y^{(\nu)}_{\lambda\mu} \quad\quad (\kappa+\lambda=e^{(\nu)}_{\mu}-2,\;\kappa=0,1,\dots,e^{(\nu)}_{\mu}-2)\end{aligned} \] definirt sind, und \(\varPsi^{(\nu)}_{\mu}\) gleich Null zu setzen ist, sobald \(e^{(\nu)}_{\mu}\) den Wert Eins hat.
Aus den Untersuchungen der folgenden Abschnitte ergiebt sich nun, dass die reducirte Schar durch die Invarianten (J) von \(f\) vollständig bestimmt ist. Ist nämlich \((uv^{(\nu)}-vu^{(\nu)})\) irgend einer der Linearfactoren der Functionen \(\theta_1,\dots,\theta_{\tau}\) und giebt die Zahl \(n^{(\nu)}_{\mu}\) an, wie oft er in der Function \(\theta_{\mu}\) enthalten ist, so entsprechen diesem Factor genau \(\tau\) von den oben angegebenen Elementarscharen \([\varPhi^{(\nu)}_{\mu},\varPsi^{(\nu)}_{\mu}]\), deren Variabelnzahlen beziehlich gleich \(n^{(\nu)}_{\mu}\) sind, und für die \(w^{(\nu)}\) mit dem Verhältnis \(\frac {u^{(\nu)}}{v^{(\nu)}}\) in sehr einfacher Weise zusammenhängt. Zu diesen treten aber, entsprechend den Invarianten \(m\) bezw. \(\overline m\), noch andere Elementarscharen hinzu, in denen sämtliche Variabeln \(X\) bezw. \(Y\), deren erster unterer Index gleich \(e^{(\nu)}_{\mu}-1\) ist, sowie auch das zugehörige \(w^{(\nu)}\), gleich Null sind. Die Anzahl der in ihnen vorkommenden Variabeln \(X\), \(Y\) ist gleich \((2m_\kappa+1)\) oder \((2\overline m_{\lambda}+1)\), falls jene Invarianten von Null verschieden sind. Endlich entsprechen den verschwindenden Zahlen \(m\) und \(\overline m\) überhaupt keine Elementarscharen. Damit ist der Beweis vollständig erbracht, dass die Function (J) in der That ein vollständiges Invariantensystem für das Formenpaar \([\varphi,\psi]\) bilden. Die Invarianten einer Formenschar \((u\varphi+v\psi)\) können, wie im Abschnitt der Arbeit dargelegt wird, aus den in (J) aufgestellten Invarianten des Formenpaares \([\varphi,\psi]\) unmittelbar hergeleitet werden; denn dem Begriffe der Schar gemäss hat man nur noch von dem Unterschiede zweier Formenpaare \[ [\varphi,\psi] \text \quad{und}\quad [a\varphi+b\psi,c\varphi+d\psi] \] zu abstrahiren, wenn \((a,b,c,d)\) irgend welche Constanten bedeuten, für die \(ad-bc\) nicht verschwindet.
Während somit die Frage, ob zwei Formenpaare \([\varphi,\psi]\) und \([\varphi',\psi']\) äquivalent sind, nur die Bildung der Invarianten (J) erfordert, also auf rationalem Wege gelöst werden kann, setzt die hier gegebene Zurückführung beider Paare auf dieselbe Reducirte, und die hieraus sich ergebende simultane Transformation des einen Paares in das andere mit Notwendigkeit die Kenntnis der Wurzeln von \(\theta_{\tau}=0\) voraus. Es ist nun L. Kronecker gelungen, auch diese Untersuchung auf rationalem Wege durchzuführen; jedoch war es ihm nicht mehr vergönnt, auch diese selbst zu veröffentlichen.

Citations:

JFM 01.0054.04
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