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Sur certains groupes fuchsiens formés avec les racines d’équations binômes. (French) JFM 22.0180.01

Der Verfasser betrachtet Fuchs’sche Gruppen von Substitutionen, welche folgendermassen gebildet sind: Es sei \(j\) eine primitive Wurzel der Gleichung \(x^p=1\), wo \(p\) eine Primzahl bedeutet, \(S_j\) eine Substitution \(\left(z, \frac {a_jz+b_j}{c_jz+d_j}\right)\); die Coefficienten haben folgende Zusammensetzung: \[ \begin{cases} \displaystyle a_j=\sum^{\frac {p-1}{2}}_{h=1}\;\alpha_h(j^h+j^{-h}), \\ \displaystyle b_j=\sum^{\frac {p-1}{2}}_{h=1}\;\beta_h(j^h+j^{-h}), \\ \displaystyle c_j=\sum^{\frac {p-1}{2}}_{h=1}\;\gamma_h(j^h+j^{-h}), \\ \displaystyle d_j=\sum^{\frac {p-1}{2}}_{h=1}\;\delta_h(j^h+j^{-h});\end{cases} \] darin sind \(\alpha_h\), \(\beta_h\), \(\gamma_h\), \(\delta_h\) ganze Zahlen derart, dass die Determinante \(a_jd_j-b_jc_j=1\) ist. Zwischen den Coefficienten von \(S_j\) werden noch einige weitere Relationen festgesetzt, um die Gruppe discontinuirlich zu machen. Diese Gruppen bieten insofern ein Interesse dar, als nur ein Teil derselben, wie der Verfasser im dritten Teile der Arbeit zeigt, sich auf Fuchs’sche Gruppen mit ganzen Coefficienten durch Transformation zurückführen lässt (vergl. Poincaré: Les fonctions fuchsiennes et l’arithmétique, Journ. de Math. (4) III. 1887, JFM 19.0429.02), während unzähling viele andere durch keine Transformation in Gruppen mit ganzzahligen Substitutionen übergeführt werden können. Einem besonderen Studium werden die Gruppen \[ \textstyle G_5: \quad p=5, \quad \sum_j=\left(z,-\frac 1z \right) \] und \[ \textstyle G_7: \quad p=7, \quad \sum_j=\left(z,\frac {-1}{z+1}\right) \] unterzogen.
Es mag noch bemerkt werden, dass, wenn die Substitutionen \(\sum_j\) rational, also von \(j\) unabhängig sein sollen, \(p\) nur die Werte 5, 7, 13 annehmen darf, weil die einzigen Perioden, welche eine Substitution mit Coefficienten besitzen kann 2, 3, 4 und 6 sind.

Citations:

JFM 19.0429.02
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Full Text: Numdam EuDML