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On algebraic relations between the coefficients in the expansions of higher derivatives. (Ueber algebraische Relationen zwischen den Entwickelungscoefficienten höherer Differentiale.) (German) JFM 22.0389.03

In der ersten Arbeit (siehe JFM 22.0389.01) gelangt der Verfasser mittels eines Recursionsverfahrens zu einem Ausdrucke für die \(n^{\text{te}}\) Ableitung von \(\frac{\varphi (x)}{f(x)}\) nach \(x\). Die gewonnene Formel lautet: \[ \varDelta_n = \frac{1}{n!}\;f_0^{n+1} \left( \frac{\varphi}{f} \right)^{(n)} = \varphi_0 E_n + \varphi_1 f_0 E_{n-1} + \varphi_2 f_0^2 E_{n-2} + \dots + \varphi_{n-1} f_0^{n-1} E_1 + \varphi_n f_0^n, \] wo allgemein \[ \varphi_i = \frac{1}{i!}\;\varphi^{(i)} (x), \quad f_i = \frac{1}{i!} f^{(i)} (x), \quad \varphi_0 = \varphi (x), \quad f_0 = f(x) \] und \[ E_k = \frac{1}{k!}\;f_0^{k+1} \left(\frac 1f \right)^{(k)} =(-1)^k \varSigma (-1)^{\alpha_0} \frac{(\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k)!}{\alpha_1 ! \alpha_2 ! \dots \alpha_k !}\;f_0^{\alpha_0} f_1^{\alpha_1} \dots f_k^{\alpha_k} \] zu setzen ist; dabei durchlaufen die \(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_k\) alle ganzzahligen, nicht negativen Werte, welche den Bedingungen \[ \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 + \dots + k\alpha_k =k \] genügen. Setzt man insbesondere \(\varphi(x) = f'(x) =f_1\), so ergiebt sich eine speciellere Formel, welche im wesentlichen mit der bekannten Waring’schen Potenzsummenformel, so wie andererseits mit den Newton’schen Potenzsummenrelationen übereinstimmt.
Die zweite Arbeit (siehe JFM 22.0389.02) wendet sich zum genaueren Studium der in der ersteren definirten Functionen \(\varDelta_n\) und \(E_k\). Die Functionen \(\varDelta_n\) sind ganze ganzzahlige Functionen von \(\varphi_0, \varphi_1, \dots, \varphi_n\), \(f, f_1, \dots, f_n\). Dieselben genügen der folgenden, auf den Modul \(f^{k-1}\) bezüglichen Congruenz: \[ \varDelta_n + f_1 \varDelta_{n-1} + f_2 f\varDelta_{n-2} + \dots + f_{k-1} f^{k-2} \varDelta_{n-k+1} \equiv 0, \quad (f^{k-1}); \] aus derselben folgen dann die weiteren auf den Modul \(f\) bezüglichen Congruenzen \[ \varDelta_n \equiv (-1)^s f_1^s \varDelta_{n-s}, \; (f) \qquad (s= 1,2,3, \dots, n), \] welche ihrerseits zeigen, dass für \(s= s_1 + s_2\) der Ausdruck \(\varDelta_n \varDelta_{n-s} - \varDelta_{n-s_1} \varDelta_{n-s_2}\) notwendig durch \(f\) teilbar sein muss; die nähere Untersuchung dieses Ausdruckes zeigt ferner, dass derselbe sogar durch die \((n-s+1)^{\text{te}}\) Potenz von \(f\) teilbar ist, und dass die Congruenz \[ \varDelta_n \varDelta_{n-s} - \varDelta_{n-s_1} \varDelta_{n-s_2} \equiv (-f_1)^{s-2} (\varDelta_{n-s+2} \varDelta_{n-s} - \varDelta_{n-s+1}^2 ), \; (f^{n-s+2}) \] besteht. Indem man noch beliebige quadratische Functionen der Grössen \(\varDelta\) in Betracht zieht, deren Coefficienten ganze ganzzahlige Functionen von \(\varphi_0, \dots, \varphi_n\), \(f, f_1, \dots, f_n\) sind, ergiebt sich der allgemeinere Satz, dass eine solche quadratische Function nur dann durch \(f\) teilbar ist, wenn dies von der Summe ihrer Coefficienten gilt. Die genannten Methoden werden schliesslich auch auf Functionen von höherem Grade in den \(\varDelta\) ausgedehnt.
Die dritte Arbeit geht von einer Formel aus, welche mit der in der ersten Arbeit abgeleiteten Formel im wesentlichen übereinstimmt. Bezeichnet nämlich \(y\) eine Function von \(x\) und \(x\) eine Function von der unabhängigen Veränderlichen \(t\), und setzt man \(y_{\varrho} = \frac{1}{\varrho !}\;\frac{d^{\varrho} y}{dx^{\varrho}}, \quad x_i = \frac{d^i x}{dt^i}\), so gilt die Formel \[ y_n = \varSigma\;\frac{\varrho !}{k_1 ! \dots k_n!}\;y_{\varrho} x_1^{k_1} \dots x_n^{k_n}, \] wo die ganzen Zahlen \(\varrho, k_1, \dots, k_n\) alle Werte durchlaufen, welche den Gleichungen genügen: \[ \varrho = k_1 + k_2 + \dots + k_n, \quad n= k_1 + 2k_2 + \dots + nk_n. \] Der Coefficient von \(y_{\varrho}\) in der rechts stehenden Summe werde mit \(C_{n,n- \varrho}\) bezeichnet. Derselbe ist eine ganze ganzzahlige homogene und isobare Function von \(x_1, \dots, x_n\). Der Verfasser zeigt zunächst, dass zwischen diesen Coefficienten \(C\) die folgenden \(\frac 12 n(n+1)\) linearen Relationen bestehen: \[ C_{n,k} = x_1 C_{n-1,k} + x_2 C_{n-2,k-1} + x_3 C_{n-3, k-2} + \dots + x_{k+1} C_{n-k-1, 0}, \]
\[ (k= 0,1,2, \dots, n-2), \quad (n= 1,2,3, \dots, n), \]
\[ C_{n,n-1} =x_n, \] durch welche dieselben auch umgekehrt eindeutig charakterisirt sind. Hierauf werden die quadratischen Relationen zwischen den \(C\) untersucht, und zwar giebt der Verfasser ein System von \(\frac 12 n(n-1)\) solchen Relationen an, durch welche wiederum die Coefficienten \(C\) in eindeutiger Weise als ganze ganzzahlige Functionen der Grössen \(x_i = C_{i, i-1}\) bestimmt sind. Die Coefficienten \(C\) sind übrigens im wesentlichen mit denjenigen Functionen identisch, welche in der oben angeführten Form für \(E_k\) als Entwickelungs-Coefficienten der Potenzen von \(f_0\) auftreten.

MSC:

12H05 Differential algebra
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