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Zur Theorie der Abel’schen Functionen. (German) JFM 22.0498.01
Ausführliche Darstellung der Resultate, über welche in den [Proc. Lond. Math. Soc. 20, 235–237 (1889); Gött. Nachr. 1889, 179–191 (1889); 1889, 376-380 (1889), C. R. 108, 277–280 (1889)] berichtet ist (vgl. JFM 21.0498.02, JFM 21.0499.01, JFM 21.0506.01).
Verfasser knüpft an seine früheren Untersuchungen über hyperelliptische Functionen an (JFM 20.0491.01) und sucht im allgemeinen Abel’schen Falle die vom algebraischen Gebilde ausgehende Definition der Thetafunction bis zu demselben Punkte zu führen, der bei jenen erreicht ist. Dies gelingt in der Hauptsache, so lange die Moduln des Gebildes als fest betrachtet werden; sollen sie als veränderlich gelten, so erwies sich die Beschränkung auf \(p=3\) einstweilen als notwendig. Dementsprechend zerfällt die Abhandlung in zwei Teile.
Im I. Teil wird zunächst auf die Existenztheoreme Bezug genommen, welche die Normalintegrale erster und dritter Gattung liefern (\(\S\) 1). Indem die Differentiale erster Gattung mit den Herren Weber und Noether zu “Formen \(\varphi\)” proportional gesetzt werden, wird einerseits die “Normalcurve der \(\varphi\)”, eine \(C_{2p-2}\) im \(R_{p-1}\) eingeführt, andererseits von vornherein der Uebergang zum Gebrauch homogener Variabeln gewonnen, von dem Verfasser sagt: “ich entschliesse mich zu demselben nicht irgend welcher Tradition oder Gewöhnung zu Liebe, sondern um das Wesen der Sache, so wie ich dasselbe verstehe, klarer herauszustellen. Um nur von den nächsten Paragraphen zu reden, so ist es der Zielpunkt derselben, gewisse complicirtere Functionen der bisherigen Theorie aus einfacheren Elementen aufzubauen; dies würde ohne homogene Variable unmöglich sein, denn diese einfacheren Elemente existiren eben nur im Bereich der homogenen Variabeln”. (\(\S\) 2). So gewinnt Verfasser eine nirgends 0 oder \(\infty\) werdende Differentialform \(d\omega\), mit ihrer Hülfe die Integrale zweiter Gattung, den Riemann-Roch’schen Satz, die Weierstrass’sche Zerlegungsformel und insbesondere eine Primform \(\varOmega\), welche nirgends \(\infty\) und nur einmal 0 wird (\(\S\) 3,4), und aus der sich, eventuell unter Zuhülfenahme von nirgends 0 oder \(\infty\) werdenden “Mittelformen” (\(\S\) 5), algebraische Formen mit vorgeschriebenen Nullstellen als Producte darstellen lassen. Indem andererseits als algebraische Formen \(\delta^{\text{ten}}\) Grades auf einer Curve im \(R_{n-1}\) solche ganze algebraische Verbindungen \(\varGamma_{\delta}\) der homogenen Coordinaten \(z\) definirt werden, die, durch eine ganze rationale homogene Function \(\delta^{\text{ten}}\) Grades dividirt, auf der Curve eindeutige Functionen geben (\(\S\) 7), erweisen sich als besonders bemerkenswert diejenigen Curven, bei welchen die Formen \(\varphi\) algebraische Formen in diesem Sinne sind; sie werden als kanonische Curven bezeichnet (\(\S\) 8) und im folgenden ausschliesslich der Darstellung zu Grunde gelegt, wobei zu beachten, dass sich jedes algebraische Gebilde in kanonische Form setzen lässt. Insbesondere werden auf den kanonischen Formen “Berührungsformen” \(\mu^{\text{ter}}\) Stufe definirt, deren Nullpunkte zu je \(\mu\) zusammenfallen und “Wurzelformen \(\mu^{\text{ter}}\) Stufe”, die \(\mu^{\text{ten}}\) Wurzeln aus den ersteren (\(\S\) 11). Den letzteren kommen zunächst relative Charakteristiken zu, entsprechend den Factoren, welche ihre Quotienten bei Ueberschreitung der Querschnitte annehmen. Diese können in zwei Fällen durch absolute Charakteristiken ersetzt werden: einmal, wenn ein ausgezeichnetes System von Wurzelformen aus algebraischen Formen im Sinne von \(\S\) 7 besteht; dann, wenn eine Wurzelform durch Multiplication mit \(\varOmega\) und Division mit einer algebraischen Form in eine Function (Form \(0^{\text{ter}}\) Dimension) übergeführt werden kann (Elementarcharakteristiken – Primcharakteristiken) (\(\S\) 12). Aus den bis dahin eingeführten Formen werden nun die Thetafunctionen aufgebaut, und zwar unter zwei verschiedenen Voraussetzungen über die Wahl der unteren Grenzen in den als Argumente auftretenden Integralsummen. Dabei bleibt nur ein von den Moduln des Gebildes abhängiger Factor noch zu bestimmen (\(\S\) 13, 14).
Im II. Teil wird dieser Factor für \(p=3\) bestimmt, indem untersucht wird, wann er verschwindet. Dabei werden zwei verschiedene Darstellungen des Gebildes \(p=3\) durch Raumcurven benutzt: die Geiser’sche durch die Umrisscurve einer Fläche dritter Ordnung (\(\S\) 17), bei der ein ungerades System, und die Hesse’sche durch die Kegelspitzencurve eines Netzes von Flächen zweiter Ordnung (\(\S\) 18), bei der ein gerades System von Berührungscurven dritter Ordnung ausgezeichnet ist. Beide Male werden die durch das Auftreten eines Doppelpunktes eintretenden Modificationen untersucht (\(\S\) 18-21), und der Vergleich der Resultate mit den über das Verhalten der Thetafunctionen bekannten (\(\S\) 22, 23) liefert die Bestimmung des gesuchten Factors durch Invarianten der jeweils benutzten Darstellung (\(\S\) 24). Die letzten \(\S\S\) (25-27) handeln von einer algebraischen Normirung der Integrale dritter Gattung und der damit im Zusammenhange stehenden Definition von “Sigmafunctionen”; endlich von den Reihenentwickelungen der letzteren, welche nach ganzen rationalen Covarianten der betreffenden Darstellung fortschreiten.

MSC:
14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
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