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Ueber bilineare Formen und deren geometrische Anwendung. (German) JFM 23.0129.01

Schon in zwei früheren Arbeiten (F. d. M. XVI. 1884. 728, JFM 16.0728.01, XVII. 1885. 692, JFM 17.0692.01) hatte sich der Verf. damit beschäftigt, die Invarianten, welche in der Determinante und der Adjungirten eines Büschels von ternären bilinearen Formen auftreten, innerhalb der Theorie der projectiven ebenen Systeme geometrisch zu deuten. Diese Dinge werden jetzt im Zusammenhange dargelegt und vor allem auch die Ausartungen der wichtigsten Gebilde systematisch verfolgt; gerade um dieses Ziel zu erreichen, bedarf es wiederholt des Zurückgreifens auf die Theorie der binären bilinearen Formen (d. i. auf gewisse hierselbst herrschende Identitäten). Man kann sagen, dass hiermit ein neues eigentümliches Uebertragungsprincip gewonnen ist. Um einige Ergebnisse herauszugreifen, so sei \(f(xu)\) eine ternäre bilineare Form mit contragredienten Variabeln, \(u_x\) die identische Covariante, dann hat die Adjungirte der linearen Verbindung \(\varrho f+\sigma u_x\) entwickelt die Gestalt: \[ \varrho^2 \varphi(xu)+\varrho \sigma \psi(xu)+\sigma^2 u_x. \] Um die Projectivität \(\psi(xu)=0\) zu deuten, sei \(a\) ein beliebiger Punkt der Ebene, sodann wähle man ein Punktepaar \(b, c\) so, dass, wenn die den Punkten \(b, c\) vermöge \(f(xu)=0\) entsprechenden Punkte mit \(b', c'\) bezeichnet werden, die Geraden \(bc'\) und \(cb'\) durch \(a\) laufen. Alle solche Geraden \(bc\) vereinigen sich in dem sogenannten “Gegenpunkte” \(A\) von \(a\). Die Punktepaare \(aA\) sind nun eben die gesuchten Punktepaare der Projectivität \(\psi(xu)=0\). Hieraus fliesst fast unmittelbar der elegante Satz:
Wenn durch eine ebene Projectivität ein Dreieck \(abc\) in \(a'b'c'\), dieses in \(a''b''c''\) übergeht, und es liegen zwei von den Dreiecken perspectiv, so liegen sie auch perspectiv zu dem dritten.
In ähnlicher Weise werden ternäre bilineare Formen mit cogredienten Variabeln untersucht, insbesondere der Fall der symmetrischen, d. i. der quadratischen Formen. Verlegt man die Ebene der Figur in’s Unendliche und nimmt den einen der beiden Kegelschnitte als Kugelkreis an, so ergeben sich interessante Zusammenhange mit dem “Kegel des Pappus” und dem “orthogonalen Kegel”. Zum Schluss wird eine bekannte fundamentale Identität zwischen Covarianten einer ternären bilinearen Form auf eine beliebige bilineare Form ausgedehnt.

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