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Déformations homogènes finies. Énergie d’un corps isotrope. (French) JFM 23.1025.02

Man erhält die in Frage stehenden Deformationen, wenn man die nach der \(x\)-Axe genommene Componente der Verrückung \[ u = D_{1}x + G_{3}y + G_{2}z + 2R_{3}y - 2R_{2}z \] setzt und die beiden anderen Componenten Werten gleich setzt, welche hieraus durch cyklische Vertauschung der Indices und Buchstaben \(x,y,z\) folgen. Setzt man \[ \text{tang}\,\omega = \sqrt{R^{2}_{1} + R^{2}_{2} +R^{2}_{3}}, \] So erhält man \[ u = [D_{1} + 2(R^{2}_{2} + R^{2}_{3})\cos^{2}\omega]x + (G_{3} - 2R_{1}R_{2}\cos^{2}\omega )y \]
\[ +(G_{2} -2R_{1}R_{3}\cos^{2}\omega )z \]
\[ +\cos^{2}\omega \{ -2(R^{2}_{2} + R^{2}_{3}) + 2(R_{1}R_{2} + R_{3})y + 2(R_{1}R_{3} - R_{2})z\}. \] Der zweite Teil giebt eine blosse Rotation, der erste die eigentliche Deformation.
Die Energie kann offenbar nur von dem ersten Teil abhängig sein und zwar nur von den Invarianten der quadratischen Form \[ [D_{1} +2(R^{2}_{2} + R^{2}_{3})\cos^{2}\omega]\xi^{2} + \cdots + 2(G_{1} - 2R_{2}R_{3}\cos^{2}\omega)\eta \zeta + \cdots . \] Die Componenten der Spannung erhält man aus der Energie vermittelst der Formeln \[ X_{x} = \frac{\partial E}{\partial D_{1}}, \quad Y_{x} + X_{y} = \frac{\partial E}{\partial G_{3}}, \quad Y_{x} - X_{y} = \frac{\partial E}{2\partial R_{3}}\cdot \] Aus ihrem gewöhnlichen Ausdruck \(\frac{\lambda}{2}J^{2}_{1} + \mu J_{2}\), wo \(J_{1}\) und \(J_{2}\) Invarianten sind, wird der folgende Wert der Energie abgeleitet: \[ E = \frac{\lambda}{2}\left(D_{1} + D_{2} + D_{3} + 4\;\frac{R^{2}_{1} + R^{2}_{2} + R^{2}_{3}}{1 + R^{2}_{1} + R^{2}_{2} + R^{2}_{3}}\right)^{2} \]
\[ +\mu \{D^{2}_{1} + D^{2}_{2} + D^{2}_{3} + \tfrac{1}{2}D^{2}{1} +\tfrac{1}{2}G^{2}_{2} + \tfrac{1}{2}G^{2}_{3} \]
\[ + 2\;\frac{4(R^{4}_{1} + R^{4}_{2} + R^{4}_{3}) + 5(R^{2}_{1}R^{2}_{2} + R^{2}_{2}R^{2}_{3} + R^{2}_{3}R^{2}_{1})}{(1+R^{2}{1} + R^{2}_{2} + R^{2}_{3})^{2}} \]
\[ +2\;\frac{2D_{1}(R^{2}_{2} + R^{2}_{3}) + 2D_{2}(R^{2}_{2} + R^{2}_{1}) + 2D_{3}(R^{2}_{1} +R^{2}_{2}) - G_{1}R_{2}R_{3} - G_{2}R_{3}R_{1} - G_{3}R_{1}R_{2}}{1+R^{2}_{1} + R^{2}_{2} +R^{2}_{3}}\}\,. \]

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