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Ueber den Hermite’schen Fall der Lamé’schen Differentialgleichung. (German) JFM 24.0308.01

Die betrachtete Differentialgleichung ist \[ \frac{d^2\xi}{dt^2}=(Ap+B)\xi, \] wo \[ t=\int\;\frac{dp}{\sqrt{4(p-e_1)(p-e_2)(p-e_3)}}\,. \] Der Hermite’sche Fall ist dadurch charakterisirt, dass, wie beim Lamé’schen, \(A=n(n+1)\) ist, \(B\) aber beliebig bleibt. Herr Hermite hat gezeigt, dass dann immer zwei Particularlösungen \(\xi_1\) und \(\xi_2\) existiren, derart dass das Product
\[ \xi_1.\xi_2 = F(p, B) \] ein Polynom \((2n)^{\text{ten}}\) Grades von \(p\) ist. Bezeichnet man mit \(B_1,B_2,\dots,B_{2n+1}\) in absteigender Folge die Werte von \(B\), für welche \(F(p, B)\) Quadrate Lamé’scher Ausdrücke \[ \xi=(x-e_1)^{\frac{\varepsilon_1}{2}} (x-e_2)^{\frac{\varepsilon_2}{2}} (x-e_3)^{\frac{\varepsilon_3}{2}}\varphi_k(p)\quad (\varepsilon_i=0\quad \text{oder}\quad 1) \] werden, so erkennt man mittels schematischer Zeichnungen, die für die Curven \(F(p,B) = 0\) (\(p\) und \(B\) als rechtwinklige Coordinaten gedacht) für ein gerades und ein ungerades \(n\) entworfen werden, wie viele reelle Wurzeln die Gleichung \(F = 0\) für ein beliebig gegebenes \(B\) besitzt. Wenn \(B>B_1\) oder \(<B_{2n+1}\) ist, so hat sie bei ungeradem \(n\) nur eine reelle Wurzel, die \(> e_3\), bezw. \(< e_1\) ist, bei geradem \(n\) keine reelle Wurzel. Für die Werte von \(B\) zwischen \(B_1\) und \(B_{2n+1}\) werden keine specificirten Sätze aufgestellt; nur wird bemerkt, dass die Wurzeln sich abwechselnd auf die Hermite’schen \(\xi_1\), \(\xi_2\), verteilen. Endlich werden die Charakteristiken \(X\), deren Begriff Herr Klein in seiner Abhandlung “über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe” (Math. Ann. XXXVII. 573-590, F. d. M. XXII. 1890. 444, JFM 22.0444.01; JFM 22.0444.02; JFM 22.0444.03) eingeführt hat, im Falle der Hermite’schen Differentialgleichung für die 4 Intervalle \[ (-\infty,e_1), (e_1,e_2), (e_2,e_3), (e_3,+\infty) \] angegeben.

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References:

[1] Letzterer Umstand wurde von mir zuerst in Bd. 18 der Math. Annalen dargelegt (pag. 237 ff., 1881). Daran schliessen sich die Entwickelungen von Liapunoff (Petersburger Magisterschrift, 1884), Stieltjes (Acta VI, pag. 321 ff., 1884), Markoff (Annalen 27, pag. 143 ff., 1885), Poincaré (Acta VI, pag. 299 ff., 1885).
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