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Essay on the study of functions defined by their Taylor expansion. (Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor.) (French) JFM 24.0359.01
Journ. de Math. (4) VIII, 101-186 (1892); (Thèse. Paris. Gauthier-Villars et Fils. 86 S. \(4^\circ\).) (1892).
Seit den Arbeiten von Abel und Cauchy weiss man, dass jeder regulären Function innerhalb eines gewissen Kreises eine Taylor’sche Entwickelung entspricht und umgekehrt, und Herr Weierstrass definirt die Function durch diese Entwickelung. Giebt man nun einen beliebigen Punkt \(u\), so kann man im allgemeinen eine Reihe bilden, die nach Potenzen von \(x\) fortschreitet und die Function in der Nähe des Punktes \(u\) repräsentirt; eine Ausnahme hiervon bilden die sogenannten singulären oder kritischen Punkte, und es ist von grösster Wichtigkeit, wenn man die Function ausserhalb des Convergenzkreises fortsetzen will, diejenigen kritischen Punkte zu bestimmen, welche auf dem Kreise selbst liegen. Mit dieser Aufgabe beschäftigt sich daher die vorliegende Arbeit in erster Linie, indem sie hierin eine von Herrn Lecornu in den C. R. 1887 über diesen Gegenstand erschienene Note ergänzt und teilweise berichtigt. Die Methode, deren sich der Verfasser bedient, ist einer Abhandlung des Herrn Darboux “Sur l’approximation des fonctions de grands nombres” (Journ. de Math. (3) IV, F. d. M. X. 1878. 279, JFM 10.0279.01) entnommen, in welcher der letztere als leitenden Gesichtspunkt den Satz aufstellt, dass die Aufsuchung des Hauptteiles der Coefficienten der Reihenentwickelung von der Art und Weise abhängt, in welcher die Function auf dem Convergenzkreis unendlich wird. Da ein näheres Eingehen auf den Stoff der Abhandlung ohne Wiedergabe der Formeln nicht möglich ist, so beschränken wir uns darauf, die Inhaltsübersicht mitzuteilen, welche der Verfasser in der Einleitung angiebt.
Die Abhandlung zerfällt in drei Teile: Im ersten Abschnitte wird nach Entwickelung einiger notwendigen Vorkenntnisse der Convergenzbezirk in allgemeiner Weise definirt, und die erhaltenen Resultate führen unmittelbar zu einem Kriterium, welches in gewissen Fällen das Vorhandensein eines oder mehrerer singulären Punkte erkennen lässt.
Der zweite Abschnitt ist einem Studium der polaren Unstetigkeiten gewidmet. Wenn die Function nur solche Unstetigkeiten auf dem Convergenzkreise besitzt, so kann man sie analytisch fortsetzen und in jedem Kreise darstellen, wo sie meromorph ist.
Im dritten Abschnitte wird auseinandergesetzt, was man unter der Ordnung einer Function auf ihrem Convergenzkreise und in einem Punkte dieses Kreises zu verstehen hat; es werden die singulären Punkte einer Untersuchung unterzogen und nach ihrer Ordnung klassificirt. Ist diese Ordnung eine endliche Zahl, so ist es in ausgedehnten Fällen möglich, die singulären Punkte zu bestimmen, und in allen Fällen, die Function in jedem gewöhnlichen Punkte des Convergenzkreises zu berechnen. Mehrere der hier mitgeteilten Resultate hat der Verfasser bereits 1888 und 1889 der Akademie der Wissenschaften in Paris überreicht.

MSC:
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
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