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Su certi integrali primi delle equazioni del moto d’un punto. (Italian) JFM 24.0854.01
Der Verf. untersucht in § 1, unter welcher Bedingung die Bewegungsgleichungen eines Massenpunktes \(x''= X\), \(y''=Y\), \(z''=Z\) ein erstes Integral von der Form \[ Ax'^2+ By'^2+ Cz'^2- Dy'z'- Ez'x'-Fx'y'= 2V+\text{const.} \tag{1} \] besitzen, wo \(A, B, C, D, E, F, V\) Functionen der Coordinaten \(x, y, z\) des beweglichen Punktes sind. Er findet, dass jene Coefficienten die Gestalt haben müssen: \[ \begin{aligned} &\begin{cases} A= c_0y^2+ a_1yz+ b_0z^2+ a_2y+ a_3z+ a_4,\\ B= a_0z^2+ b_1zx+ c_0x^2+ b_2z+ b_3x+ b_4,\\ C= b_0x^2+ c_1xy+ a_0y^2+ c_2x+ c_3z+ c_4;\end{cases}\tag{7}\\ &\begin{cases} D=-a_1x^2+ 2a_0yz+ b_1xy+ c_1xz+ b_2y+ c_3z+ a_5x+ a_6,\\ E=-b_1y^2+ 2b_0zx+ c_1yz+ a_1yx+ c_2z+ a_3x+ b_5y+ b_6,\\ F=-c_1z^2+ 2c_0xy+ a_1zx+ b_1zy+ a_2x+ b_3y+ c_5z+ c_6, \end{cases} \tag{9} \end{aligned} \] worin \(a_5+ b_5+ c_5=0\) zu nehmen ist; \(V\) unterliegt keiner Beschränkung.
In § 2 wird gefragt, ob zu beliebig gegebenen \(X,Y,Z\) immer ein Inegral von der Form (1) gefunden werden kann. Es ergiebt sich, dass bei willkürlicher Annahme von \(X\) und \(Y\) die dritte Componente \(Z\) wenigstens teilweise bestimmt ist. Statt dessen können auch andere Voraussetzungen gemacht werden, z. B. dass die gegebene Kraft eine constante Richtung hat (§ 3), oder dass zwei Relationen zwischen den drei Componenten stattfinden (§ 4). Bezüglich der hierher gehörigen Litteratur verweist der Verf. auf Cerruti (Collectanea math. S. 171-182), Pennacchietti (vgl. F. d. M. XVII. 1885, 873, JFM 17.0873.02, XXIII. 1891. 934, JFM 23.0934.01) und Bertrand (Journ. de Math. (2) II. 113-140).

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