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Sulle onde cilindriche nei mezzi isotropi. (Italian) JFM 24.0984.02

Der Verfasser (siehe auch JFM 24.0984.01) legt sich die Frage vor, wie sich der Kirchhoff’sche Ausdruck für das Huygens’sche Princip in einem Raume von zwei oder von mehr als drei Dimensionen gestaltet. Die Lösung dieser Frage wird durch folgenden Umstand complicirt. Sucht man das allgemeine Integral der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2V}{\partial t^2}=a^2\sum^{m}_{i=1}\;\frac{\partial^2V}{\partial x^2_i}\,, \] das ausser von \(t\) nur von \[ r^2 =\sum^{m}_{i=1} x^2_i \] abhängt; so erhält man nur für die Fälle \(m = 1\) und \(m = 3\) endliche Ausdrücke, während in allen anderen Fällen die Lösung die Form eines bestimmten Integrals hat, das willkürliche Functionen enthält. Diese Schwierigkeit tritt schon für Cylinderwellen im Raume von drei Dimensionen, die ja nur von zwei Coordinaten abhängen, zu Tage; schon für diesen Fall also bedarf es einer neuen Formel, und der Ableitung derselben ist die erste der im Titel genannten Abhandlungen gewidmet.
Die Function \(\psi\) genüge der Gleichung \[ (1)\qquad \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=a^2\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial \eta^2}\right). \] \(V\) dagegen der Gleichung \[ (2)\qquad \frac{\partial^2V}{\partial t^2}=\frac1r\;\frac{\partial}{\partial r}\left(r\;\frac{\partial V}{\partial r}\right)\,, \] wo \(r\) den Abstand des Punktes \(\xi\), \(\eta\) von einem festen Punkte \(x\), \(y\) bezeichnet. \(V\) lässt sich dann durch einen der folgenden vier Ausdrücke darstellen, in denen \(f\) eine willkürliche Function bezeichnet, die für alle Werte des Arguments oberhalb, resp. unterhalb einer gewissen Grenze verschwindet: \[ (3)\qquad V_{1,2}=\int^\infty_r f(t\pm u)\;\frac{du}{\sqrt{u^2-r^2}}\,,\qquad V_{3,4}=\int^{+r}_{-r} f(t+u)M\;\frac{du}{\sqrt{r^2-u^2}}\,, \] wo \[ M_3=1\quad \text{oder}\quad M_4=\log\left(\frac{r^2-u^2}{r}\right) \] ist. Auf die beiden Functionen \(\psi\) und \(V_1\) wird der Green’sche Satz angewandt, so ergiebt sich: \[ (4)\qquad 2\pi\psi(x,y,t)f(t)+\int_s\left(\frac{\partial \psi}{\partial n}\;V_1-\frac{\partial V}{\partial n}\;\psi\right)ds=\frac{\partial}{\partial t}\left(\int_\sigma\left(\psi\;\frac{\partial V_1}{\partial t}-V_1\;\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)d\sigma\right). \] Dabei ist das rechts stehende Integral über ein zweidimensionales Gebiet \(\sigma\) auszudehnen, in dessen Innerem der feste Punkt \(x\), \(y\) liegt, das links stehende Integral über die Grenzcurve \(s\) von \(\sigma\). Nimmt man noch an, dass \(\psi\) für solche Werte von \(t\), die unterhalb einer gewissen Grenze liegen, verschwindet, so kann man Gleichung (4) zwischen den Grenzen \(t=-\infty\) und \(t=+\infty\) integriren, wodurch die rechte Seite verschwindet. Transformirt man noch das links stehende dreifache Integral, so erhält man eine Gleichung von der Form \[ \int^{\infty}_{-\infty}f(t)\lambda\,dt=0, \] deren Bestehen, da \(f(t)\) eine willkürliche Function ist, das Verschwinden von \(\lambda\) erfordert. Dadurch ergiebt sich folgendes Resultat: Es ist \[ (\text{A})\qquad 2\pi\psi(x,y,t)=\int_s ds\left\{\frac{\delta}{\delta n}\int^\infty_r\psi(\xi,\eta,t-u)\;\frac{du}{\sqrt{u^2-r^2}}-\frac{\partial}{\partial n}\int^\infty_r\psi(\xi,\eta,t-u)\frac{du}{\sqrt{u^2-r^2}}\right\}. \] Darin ist zur Abkürzung gesetzt \[ \begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial n}=\frac{\partial}{\partial \xi}\;\frac{\partial \xi}{\partial n}+\frac{\partial}{\partial \eta}\;\frac{\partial \eta}{\partial n}\,,\\ & \frac{\delta}{\delta n}=\frac{\partial}{\partial r}\;\frac{\partial r}{\partial n}\,.\end{aligned} \] Die Gleichung (A) ist für Cylinderwellen das Analogon der Kirchhoff’schen Form des Huygen’schen Princips. Nimmt man \(V_2\) statt \(V_1\), so ist in (A) nur \(t+u\) statt \(t- u\) zu setzen, und dann muss \(\psi\) für alle Werte von \(t\) oberhalb einer gewissen Grenze verschwinden [Gleichung (B)]. Für \(V= V_4\) ergiebt sich: \[ \text{(D)}\qquad 2\pi^2\psi(x,y,t)=\int_sds\left\{\frac{\partial}{\partial n}\int^{+r}_{-r}\psi(\xi,\eta,t-u)\log\left(\frac{r^2-u^2}{r}\right)\frac{du}{\sqrt{r^2-u^2}}-\frac{\delta}{\delta n}\int^{+r}_{-r}\psi(\xi,\eta,t-u)\log\left(\frac{r^2-u^2}{r}\right)\frac{du}{\sqrt{r^2-u^2}}\right\}. \] Um endlich die \(V = V_3\) entsprechende Gleichung (C) zu erhalten, hat man in (D) rechts den Factor \(\log\left(\frac{r^2-u^2}{r}\right)\) fortzulassen und auf der linken Seite Null statt \(2\pi^2\psi\) zu setzen.
Weiter wird gezeigt, welche Gleichungen an Stelle von (A), (B), (C) treten, wenn die Anzahl der Dimensionen \(m\) statt zwei beträgt; zur Verallgemeinerung der Gleichung (D) ist eine gerade Zahl von Dimensionen erforderlich.
In der zweiten Arbeit wird bewiesen, dass die beiden Formeln (A) und (B), sowie auch die Poisson’sche Lösung von (1), nämlich \[ \begin{aligned} \psi(x,y,z,t) & =\frac{1}{2\pi}\;\frac{\partial}{\partial t}\int^{2\pi}_{0}d\varphi\int^{2\pi}_0 d\varphi\int^t_0\psi(x+z\cos\varphi,\;y+z\sin\varphi,0)\;\frac{zdz}{\sqrt{t^2-z^2}}\\ & +\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 d\varphi \int^t_0\left[\frac{\partial \psi(x+z\cos\varphi,\,y+z\sin\varphi,t)}{\partial t}\right]_{t=0}\frac{zdz}{\sqrt{t^2-z^2}}\,,\end{aligned} \] specielle Fälle folgender allgemeineren Formel sind: \[ \text{(E)}\qquad 2\pi\psi(x_1,y_1,t_1)=\frac{\partial}{\partial t_1}\int_\sigma\;\frac{1}{\sqrt{(t_1-t)^2-r^2}}\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\;\frac{\partial t}{\partial n}-\frac{\partial \psi}{\partial x}\;\frac{\partial x}{\partial n}-\frac{\partial\psi}{\partial y}\;\frac{\partial y}{\partial n}\right)d\sigma. \] Zur Ableitung von (E) denke man sich in einem dreidimensionalen Räume mit den Coordinaten \(x\), \(y\), \(t\) einen Rotationskegel, dessen Scheitel der Punkt \(x_1\), \(y_1\), \(t_1\) und dessen Axe zu \(t\) parallel ist, während seine Oeffnung \(90^\circ\) beträgt. Den Innenraum des Kegels begrenze man durch eine beliebige Fläche \(\sigma\) und schneide endlich aus dem so erhaltenen einfach zusammenhängenden Räume ein Stück heraus durch einen Rotationscylinder, dessen Axe mit der Kegelaxe zusammenfällt, und dessen Radius \(=\varepsilon\) ist. Der von der Kegelfläche, der Fläche \(\sigma\) und der Cylinderfläche begrenzte Raum heisse \(S\). Dann drücke man das über \(S\) erstreckte Integral \[ \int_S(\psi\varDelta\chi-\chi\varDelta\psi)dS, \] worin \[ \varDelta\psi=\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \] ist, durch Oberflächenintegrale aus, setze für \(\psi\) eine beliebige Lösung der Gleichung \(\varDelta\psi= 0\), für \(\chi\) die specielle Lösung \[ \chi=\log\;\frac{\pm(t_1-t)+\sqrt{(t_1-t)^2-r^2}}{r}\quad (r=\sqrt{(x_1-x)^2+(y_1-y)^2}) \] und gehe zur Grenze \(\varepsilon = 0\) über. Dann erhält man die Formel (E). Aus derselben geht die Poisson’sche Formel hervor, wenn man für \(\sigma\) einen in der \(xy\)-Ebene liegenden Kreis mit dem Radius \(t_1\) nimmt, während man, um zu den Formeln (A) und (B) zu gelangen, für \(\sigma\) eine Fläche nehmen muss, die aus einem Stück einer Cylinderfläche und einem ebenen Flächenstück zusammengesetzt ist.
Zum Schluss werden noch ähnliche Verallgemeinerungen der oben mit (C) bezeichneten Formel abgeleitet.

Citations:

JFM 24.0984.01
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