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Über die vollen Invariantensysteme. (German) JFM 25.0173.01
Bei diesen weitreichenden Untersuchungen ordnet sich die Theorie der algebraischen Invarianten unmittelbar unter die allgemeine Theorie der algebraischen Functionenkörper unter. Hierbei bildet der früher vom Verf. bewiesene Satz von der ,,Endlichkeit des vollen Invariantensystems” die Grundlage. Es handelt sich um die Frage, welcher Mittel man bedarf, um solche vollen Systeme wirklich herzustellen.
Unter ,,Invarianten” sind stets ganze rationale homogene Functionen der Coefficienten einer gegebenen Urform (oder eines Systems von Urformen) zu verstehen. Der Kürze halber beschränken wir uns auf eine einzelne Urform \(U\).
Es wird zunächst gezeigt, wie man eine endliche Anzahl von Invarianten ,,\(J_1\), \(J_2\), ..., \(J_k\)” von \(U\) (zwischen denen keine algebraische Relation herrscht), so bestimmen kann, dass jede andere Invariante \(J\) von \(U\) eine ganze algebraische Function der \(J_1\), ..., \(J_k\) wird; überdies lässt sich zu diesen stets noch eine weitere Invariante \(J_0\) hinzufügen, so dass nunmehr jede Invariante \(J\) von \(U\) rational von den \(J_0\), \(J_1\), \(J_2\), ..., \(J_k\) abhängt.
Es ist aber auch umgekehrt jede von \(J_0\), \(J_1\), ..., \(J_k\) rational und zugleich von \(J_1\), ..., \(J_k\) ganz und algebraisch abhängende Function eine Invariante \(J\) von \(U\).
Somit bestimmen \(J_0\), \(J_1\), ..., \(J_k\) einen Functionenkörper — den ,,Invanantenkörper” der Urform —, in welchem die ganzen algebraischen Functionen gerade das System der (ganzen rationalen) Invarianten ausmachen.
Nach Kronecker lässt sich in einem solchen Functionenkörper immer eine endliche Anzahl ganzer Functionen derart bestimmen, dass jede andere ganze Function des Körpers eine lineare Verbindung jener endlichen Anzahl wird, mit Coefficienten, die selbst ganze rationale Functionen des Körpers sind. Verbindet man hiermit ein früheres Theorem des Verf., so erkennt man, wie — nach Kenntnis der \(J_0\), \(J_1\), ..., \(J_k\) — die Aufstellung des ,,vollen Invariantensystems” von \(U\) nur noch die Lösung einer elementaren Aufgabe aus der arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen erfordert. Die Zahl \(k\) wird durch ein eigentümliches Grenzverfahren ermittelt.
Da jede Invariante \(J\) von \(U\) eine ganze algebraische Function der \(J_1\), ..., \(J_k\) war, so müssen alle Invarianten \(J\) verschwinden, sobald die \(J_1\), ..., \(J_k\) gleich Null gesetzt werden.
Es ist nun von entscheidender Bedeutung, dass auch das Umgekehrte gilt: Wenn also das Verschwinden einer Anzahl von Invarianten das Verschwinden aller übrigen zur Folge hat, so sind alle Invarianten ganze algebraische Functionen der ersteren.
Der schwierige Beweis dieser Umkehrung beruht auf einem weiteren, allgemeinen Theoreme über algebraische Functionen, welches wir übergehen müssen. Es ist demnach von Wichtigkeit, die Kriterien dafür zu kennen, dass für eine Urform sämtliche Invarianten gleich Null sind. Ist die Urform eine binäre, so kommt man mit elementaren Mitteln (Resultantenbildungen) aus; um zu Systemen solcher Urformen überzugehen, bedient man sich des Aronhold’schen Processes.
Für Formen höherer Stufen bedarf man jedoch tiefer liegender Mittel. Sei etwa \(U\) eine ternäre Urform von der Ordnung \(n\), mit numerisch gegebenen Coefficienten. Dann hat man zuvörderst zu entscheiden, ob \(U\) überhaupt noch eine von Null verschiedene Invariante besitzt, oder nicht. Zu dem Zwecke werde \(U\) einer linearen Transformation (der Variabeln) mit der Substitutionsdeterminante \(\delta\) unterworfen. Dann ergiebt sich aus der Definition einer Invariante, und mittels geeigneter Benutzung des \(\Omega\)-Processes, dass eine Urform mit bestimmten numerischen Coefficienten dann, und nur dann, eine von Null verschiedene Invariante besitzt, wenn die Substitutionsdeterminante \(\delta\) eine ganze algebraische Function der Coefficienten der linear transformirten Urform ist. Daraufhin wird ein Weg angegeben, wie man durch endliche und von vorn herein übersehbare Processe entscheiden kann, ob \(\delta\) eine ganze algebraische Function der gemeinten Coefficienten ist oder nicht.
Eine wichtige Folgerung hieraus ist unter anderem, dass für die Gewichte der oben erwähnten Invarianten \(J_1\), ..., \(J_k\) eine obere, nur von \(n\) abhängende Grenze angebbar ist.
Bezeichnet man eine solche besondere Urform, die nur verschwindende Invarianten besitzt, als eine ,,Nullform”, so kommt es nunmehr darauf an, diese Nullformen sämtlich aufzustellen. Zu dem Behuf ist erst eine nähere Untersuchung solcher linearen Transformationen nötig, deren Coefficienten Potenzreihen einer Veränderlichen \(t\) sind. Hierauf gestützt, bringt der Verf. die Nullform in eine ,,kanonische” Gestalt; eine solche kanonische Nullform giebt es in jeder Klasse äquivalenter Nullformen. Zur Bestimmung der kanonischen Nullformen, die von einer diophantischen Gleichung (oder vielmehr Ungleichung) abhängt, wird eine graphische Darstellung mit Vorteil verwendet.
Somit sind zur Erlangung eines vollen Invariantensystems drei Schritte nötig: man ermittele ein erstes System von Invarianten, von denen alle anderen ganz-algebraisch abhängen, ferner ein zweites System, von dem die anderen rational abhängen; endlich in dem durch die beiden gewonnenen Systeme bestimmten Invariantenkörper ein vollständiges System (in Kronecker’s Sinne) ganzer algebraischer Functionen.
Das zweite System kann aber auch, wie am Schluss gezeigt wird, ganz entbehrt werden.
Die zur Anwendung kommenden Processe sind rationale und von vorn herein übersehbare.

MSC:
13A50 Actions of groups on commutative rings; invariant theory
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References:
[1] Math. Ann. Bd. 36, S. 473.
[2] Vergl. die 3 Noten des Verfassers: ?Ueber die Theorie der algebraischen Invarianten.? Nachrichten v. d. kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1891 (1ste Note) und 1892 (2te und 3te Note).
[3] Vergl. meine oben citirte Abhandlung S. 524; der Satz stimmt im Wesentlichen mit einem von P. Gordan und F. Mertens bewiesenen Satze überein Neuerdings hat Story in den Math. Ann. Bd. 41, S. 469 einen Differentiations-process [] angegeben, welcher sich direct aus Differentiationen nach den Coefficientena zusammensetzt und welcher den ?-Process zu ersetzen im Stande ist; dieser Process ist eine Verallgemeinerung des in meiner Inauguraldissertation für binäre Formen aufgestellten Processes [], vergl. Math. Ann. Bd. 30, S. 20.
[4] S. 233.
[5] Mathematische Annalen Bd. 36, S. 474.
[6] Vgl. Math. Ann. Bd, 36, S. 474 und 492.
[7] Vergl. Acta Mathematica Bd. 7, S. 101.
[8] Vgl. Math. Ann. Bd. 36, S. 527.
[9] Das nämliche Resultat habe ich auf einem völlig anderen Wege erhalten in meiner Arbeit: ?Ueber Büschel von binären Formen mit vorgeschriebener Functionaldeterminante?; Mathematische Annalen Bd. 33, S. 233.
[10] Vgl. die Abschnitte IV und V dieser Arbeit.
[11] Vgl. Faà di Bruno, Theorie der binären Formen Leipzig 1881, S. 194.
[12] Diese Formel, sowie die entsprechende für eine gerade Ordnungn habe ich bereits in den Berichten der Gesellschaft der Naturforscher und Aerzte, Halle 1891 mitgetheilt.
[13] Theorie der binären Formen. · JFM 08.0061.02
[14] Vgl. meine Arbeit: ?Ueber Büschel von binären Formen mit vorgeschriebener Functionaldeterminante?, Mathematische Annalen Bd. 33, S. 227, sowie die dort ausführlich citirte Litteratur dieses Problems.
[15] Vgl. meine Abhandlung ?Ueber die Theorie der algebraischen Formen?. Mathematische Annalen Bd. 36, S. 520.
[16] Math. Ann, Bd. 36, S. 474.
[17] Mathematische Annalen Bd. 36, S. 524.
[18] Dass eine solche Bestimmung derB 1 00, ...,B 9 00 stets möglich ist, habe ich in meiner Abhandlung ?Ueber die Irreducibilität ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten?, Crelle’s Journal Bd. 110 gezeigt.
[19] Diesen Beweis habe ich dargelegt in meiner 3ten oben citirten Note S. 7; derselbe gebraucht nicht das Theorem I meiner Arbeit: Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Math. Ann. Bd. 36, S. 474.
[20] Die Zahl ? hat in dem vorliegenden Falle einer ternären Grundformn ter Ordnung den WerthN-8 und die Zahl ? hat den Werth 9.
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