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On the expansion of some infinite products. (English) JFM 25.0432.01
Bedeuten \((\lambda)\) das unendliche Product \((1-\lambda)(1-\lambda q)(1-\lambda q^2)\dots\), \((1-q^r)!\) das endliche Product \((1-q)(1-q^2)\dots(1-q^r)\), \(H_r(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3,\dots)\) den Coefficienten von \(x^r\) in der Entwickelung von \(1/(\lambda_1 x)(\lambda_2 x)(\lambda_3 x)\dots\); ist ferner \[ h_r(\lambda_1,\lambda_2,\dots) = H_r(\lambda_1,\lambda_2,\dots)(1-q^r)!, \] \[ \delta f(\lambda) = \frac{f(\lambda) - f(\lambda q)}{\lambda}, \] so ist: \[ \frac{(\lambda\lambda_1\lambda_2\lambda_3)}{(\lambda\lambda_2)(\lambda\lambda_3)(\lambda_1\lambda_2)(\lambda_1\lambda_3)} = 1 + H_1(\lambda_2,\lambda_3)h_1(\lambda,\lambda_1) + H_2(\lambda_2,\lambda_3)h_2(\lambda,\lambda_1) +\cdots. \] Entwickelt man \[ \frac1{P(\lambda_2)} = \prod_{n=0}^\infty (1-2\lambda_2q^n\cos\theta + \lambda_2^2q^{2n}) \] nach Potenzen von \(\lambda_2\) in die Reihe: \[ 1 + \sum_{r=1}^\infty \frac{\lambda_2^r A_r(\theta)}{(1-q^r)!}, \] und setzt man in der Heine’schen Reihe \[ \varphi(a, b, c, q, x) = 1 + \frac{(1-a)(1-b)}{(1-q)(1-c)}x + \frac{(1-a)(1-aq)(1-b)(1-bq)}{(1-q)(1-q^2)(1-c)(1-cq)}x^2 +\cdots \] \[ a = \lambda_3 e^{-\theta i},\, b = \lambda_4 e^{-\theta i},\, e = \lambda_3\lambda_4,\, x = \lambda_2 e^{\theta i}, \] so ist \[ \varphi(\lambda_3 e^{-\theta i},\lambda_4 e^{-\theta i},\lambda_3\lambda_4, q, \lambda_2 e^{\theta i})\prod_{n=0}^\infty (1-\lambda_2 e^{\theta i}q^n)(1-\lambda_3\lambda_4q^n) \] eine rationale Function von \(\theta\) und symmetrisch in \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) und kann auf die Form gebracht werden: \[ \frac1{P(\lambda_2)P(\lambda_3)P(\lambda_4)}\cdot\{1 + A_1(\theta)H_1(\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) + A_2(\theta)H_2(\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) +\cdots\}. \] In ähnlicher Weise lässt sich der Quotient entwickeln: \[ \frac{K_0 + K_1A_1(\theta) + K_2A_2(\theta)+\cdots}{P(\lambda)} = L_0 + L_1A_1 (\theta) + L_2A_2(\theta) +\cdots; \] das absolute Glied ist \(L_0=K_0+K_1(\lambda)+K_2(\lambda^2)+\cdots\) und heisst die erzeugende Function der \(K\)-Reihe, während für die Grössen \(L_r\) das Gesetz gilt: \[ (1-q^{r+1})L_{r+1} = \lambda L_r - L_{r-1} + \delta L_r, \] resp. \[ L_r = H_r(\lambda,\delta)L_0; \] weiter ist \[ \frac{K_0 + K_1A_1(\theta) + K_2A_2(\theta)+\cdots}{(1 - 2\lambda\cos\theta + \lambda^2)(1 - 2\lambda q\cos\theta + \lambda^2q^2)} = \frac{(\lambda\delta)}{P(\lambda)P(\delta)}(K_0 + K_1\lambda + K_2\lambda^2 +\cdots) \] \[ =\{1 + H_1(\lambda,\delta)A_1(\theta) + H_2(\lambda,\delta)A_2(\theta) +\cdots\}\{K_0 + K_1\lambda + K_2\lambda^2 +\cdots\}. \] Die erzeugende Function von \[ \{K_0 + K_1A_1(\theta) + K_2A_2(\theta)+\cdots\}/P(\lambda), \] ausgedrückt in Potenzen von \(k\), erhält man hieraus, indem man auf der rechten Seite \(A_r(\theta)\) durch \(k^r\) ersetzt.
Die erzeugende Function \(\varphi_3(\lambda)\) von \(1/P(\lambda_1)P(\lambda_2)P(\lambda_3)\) genügt der Gleichung: \[ \varphi_3(\lambda)(1-\lambda\lambda_1)(1-\lambda\lambda_2)(1-\lambda\lambda_3) = \varphi_3(\lambda q)(1-\lambda\lambda_1\lambda_2\lambda_3); \] setzt man sie gleich \(K_0+\frac{kK_1}{1-q}+\cdots\), so ergiebt sich die Gleichung: \[ (p_1-p_3)K_0 = (1-p_4)K_1, \] wo \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) die Coefficienten der Gleichung bedeuten, deren Wurzeln \(\lambda\), \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) sind.
Durch Gleichsetzung der Coefficienten der Cosinus der gleichen Vielfachen von \(\theta\) in der Formel \[ a_0 + a_1A_1(\theta) + a_2A_2(\theta) +\cdots = b_0 + 2b_1\cos\theta + 2b_2\cos2\theta +\cdots \] ergeben sich Relationen zwischen den \(a\) und \(b\), aus denen sich die \(a\) durch die \(b\) ausdrücken lassen; z. B. \[ a_0 = b_0 - (1+q)b_2 + q(1+q^2)b_4 + q^3(1+q^3)b_6 +\cdots +(-1)^r q^{\frac12r(r-1)}(1+q^r)b_{2r} +\cdots, \] \[ (1-q)a_1 = (1-q)b_1 - (1-q^3)b_3 + q(1-q^5)b_5 - q^3(1-q^7)b_7 +\cdots +(-1)^r q^{\frac12r(r-1)}(1-q^{2r+1})b_{2r+1} +\cdots. \] Hieraus werden Entwickelungen des unendlichen Productes \(\prod(1-q^n)^2\) hergeleitet.
Das Product \((1+2\lambda q\cos\theta+\lambda^2q^2)(1+2\lambda q^2\cos\theta+\lambda^2q^4)\cdots\) giebt entwickelt: \begin{multline*} 1 + \frac{\lambda^2q^2}{1-q} + \frac{\lambda^4q^6}{(1-q)(1-q^2)} + \frac{\lambda^6q^{12}}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)} +\cdots\\ + \frac{q^\lambda}{1-q}A_1(\theta)\left\{1 + \frac{\lambda^2q^3}{1-q} + \frac{\lambda^4q^8}{(1-q)(1-q^2)} +\cdots\right\}\\ + \frac{q^3\lambda^2}{(1-q)(1-q^2)}A_2(\theta)\left\{1 + \frac{\lambda^2q^4}{1-q} +\cdots\right\} +\cdots; \end{multline*} dabei genügt die Reihe \[ \chi(\lambda^2) = 1 + \frac{\lambda^2q^2}{1-q} + \frac{\lambda^4q^6}{(1-q)(1-q^2)} +\cdots \] der Gleichung: \[ \chi(\lambda^2) - \chi(\lambda^2q) = \lambda^2q^2\chi(\lambda^2q^2). \] Endlich ist: \[ (1+2q^{\frac12}\cos\theta+q)(1+2q^{\frac32}\cos\theta+q^3)\cdots = \varphi(q) + \frac{q^{\frac12}A_1(\theta)}{1-q}\psi(q), \] wo gesetzt ist: \[ \begin{aligned} \varphi(q) &= 1 + \frac q{1-q} + \frac{q^4}{(1-q)(1-q^2)} +\cdots = \frac1{\prod(1-q^{5n\pm1})},\\ \psi(q) &= 1 + \frac{q^2}{1-q} + \frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)} +\cdots = \frac1{\prod(1-q^{5n\pm2})},\end{aligned} \] und die folgenden Relationen bestehen: \[ \begin{aligned} \varphi(q) + \varphi(-q) &= \frac{2\prod(1+q^{2n})}{\prod(1-q^{8n-4})}\varphi(q^{16}),\\ \varphi(q) - \varphi(-q) &= \frac{2\prod(1+q^{2n})}{\prod(1-q^{8n-4})}q\psi(-q^4),\\ \psi(q) - \psi(-q) &= \frac{2\prod(1+q^{2n})}{\prod(1-q^{8n-4})}q^3\psi(q^{16}),\\ \psi(q) + \psi(1-q) &= \frac{2\prod(1+q^{2n})}{\prod(1-q^{8n-4})}\varphi(-q^4).\end{aligned} \]

MSC:
05A19 Combinatorial identities, bijective combinatorics
11B65 Binomial coefficients; factorials; \(q\)-identities
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