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Ueber die von Poincaré gegebene Erweiterung des Cauchy’schen Satzes von der Existenz der Integrale gewöhnlicher Differentialgleichungssysteme. (German) JFM 25.0596.01
Der Satz des Herrn Poincaré über die Entwickelbarkeit der Integrale eines Differentialgleichungssystems \[ \frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1,\dots,x_n,\mu)\qquad(i=1,2,\dots,n) \] nach Potenzen des in den Coefficienten vorkommenden Parameters \(\mu\) wird auf die Lösungen partieller Differentialgleichungssysteme ausgedehnt. Es sei ein solches System in der Form \[ \frac{du_i}{dz_1} = f_i(z_1,\dots,z_\lambda,\,u_1,\dots,u_m,\, \frac{du_1}{dz_1},\dots,\frac{du_1}{dz_\lambda},\dots,\frac{du_m}{dz_1}, \dots,\frac{du_m}{dz_\lambda},\mu_1,\dots,\mu_\varrho) \]
\[ (i=1,2,\dots,m) \] gegeben, worin \(\mu_1\), ..., \(\mu_\varrho\) Parameter bedeuten, und die \(f_i\) nach ganzen positiven Potenzen aller eingeschlossenen Argumente entwickelbar sind, so giebt es stets ein Integralsystem \(u_k\), welches für \(z_1=0\) in die beliebig gegebenen convergenten Reihenwerte \[ (u_k)_{z_1=0} = a_s^{(k)} + (a_2^kz_2 +\cdots+ a_\lambda^{(k)}z_\lambda) + (a_{22}^{(k)}z_2^2 +\cdots+ a_{\lambda-1,\lambda}^{(k)}z_{\lambda-1}z_\lambda) \] übergeht und für hinreichend kleine Werte der Grössen \[ z_1,\dots,z_\lambda,a_1^{(1)},\dots,a_\lambda^{(1)},\dots, a_1^{(m)},\dots,a_\lambda^{(m)},\mu_1,\dots,\mu_\varrho \] nach ganzen positiven Potenzen dieser Grössen entwickelbar ist, und diese Integralelemente besitzen um einen beliebigen Punkt \(\zeta_1\) des zu \(z_1\) gehörigen Convergenzkreises Fortsetzungen, die nach ganzen positiven Potenzen von \[ z_1-\zeta_1,z_2,\dots,z_\lambda,a_1^{(1)},\dots,a_\lambda^{(1)},\dots, a_1^{(m)},\dots,a_\lambda^{(m)},\mu_1,\dots,\mu_\varrho \] entwickelbar sind, vorausgesetzt, dass die Punkte \[ z_1 = \zeta_1,\quad z_2 = 0,\quad\dots,\quad z_\lambda = 0, \] die Werte der Integralelemente \(u_k\) und ihrer Ableitungen für verschwindende Werte von \(a_1^{(1)},\dots,a_\lambda^{(1)},\dots, a_1^{(m)},\dots,a_\lambda^{(m)},\mu_1,\dots,\mu_\varrho\) kein singuläres Wertsystem der Functionen \(f_1\), ..., \(f_m\) bilden. Ferner werden die Integralelemente selbst, für jeden Wert von \(z\) zwischen 0 und \(\zeta_1\), falls inzwischen der erwähnte Ausnahmefall nicht eintritt, für hinreichend kleine Werte von \[ z_2,\dots,z_\lambda,a_1^{(1)},\dots,a_\lambda^{(1)},\dots, a_1^{(m)},\dots,a_\lambda^{(m)},\mu_1,\dots,\mu_\varrho \] nach ganzen positiven Potenzen dieser Grössen sich entwickeln lassen.
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Full Text: Crelle EuDML