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Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. (Thèse présentée à la Faculté des Sciences). (French) JFM 25.0638.02
Paris: Nony et Co. 156 S. (1894).
Diese ausgezeichnete Arbeit enthält nicht bloss eine vollkommen strenge Begründung und teilweise Berichtigung der wichtigen Sätze, die W. Killing [Math. Ann. 31, 252–290 (1888; JFM 20.0368.03)] über die Zusammensetzung der continuirlichen Gruppen gefunden hat, sondern sie enthält auch so zahlreiche und wichtige neue Ergebnisse, dass sie unter allen Beiträgen, die in den letzten Jahren von anderer Seite zu der Lieschen Theorie der Transformationsgruppen geliefert worden sind, einen der hervorragendsten Plätze einnimmt.
Die Arbeit zerfällt in drei Teile. In dem ersten werden die nötigen Begriffe aus der Theorie der Transformationsgruppen definirt: Zusammensetzung, adjungirte Gruppe, charakteristische Gleichung, der Killingsche Rangbegriff u. s. w. Ferner wird eine Reihe von Hülfssätzen entwickelt; ein Teil davon geht auf Killing zurück, wird aber von neuem bewiesen. Endlich wird die Liesche Einteilung der Gruppen in integrable und nicht integrable besprochen und ein äusserst einfaches Kriterium für die Integrabilität einer Gruppe angegeben; zugleich wird etwas näher auf die Gruppen vom Range Null eingegangen.
Im zweiten Teile werden zunächst die Gruppen besprochen, die Hr. Killing halbeinfach nennt, und das Kriterium wird angegeben, an dem man erkennen kann, ob eine Gruppe halbeinfach ist oder nicht. Die Eigenschaften der Wurzeln der charakteristischen Gleichung einer halbeinfachen Gruppe werden entwickelt, und die Bestimmung aller Zusammensetzungen von einfachen Gruppen wird auf die Bestimmung gewisser Systeme von ganzen Zahlen zurückgeführt, die sämtlich aufgestellt werden. Die hierbei benutzten Methoden sind im wesentlichen die Killings, aber die Beweise sind vollkommen streng durchgeführt, ohne die geringste Lücke zu lassen, was bei Killing nicht der Fall war. Das Endergebnis ist die wirkliche Aufstellung aller Zusammensetzungen, die eine einfache Gruppe überhaupt haben kann. Ausser den bekannten Klassen von einfachen Gruppen, die Lie schon längst angegeben hatte, giebt es nur noch fünf specielle einfache Gruppen mit je \(14, 52, 78, 133\) und \(248\) Parametern. Das von Killing gefundene Ergebnis ist hiermit bestätigt; es ist aber auch noch mehr geleistet, denn Killing hatte noch nicht für alle fünf speciellen einfachen Gruppen die Zusammensetzungen vollständig hingeschrieben.
Der dritte Teil beschäftigt sich zunächst mit den nicht integrabeln Gruppen im allgemeinen. Zahlreiche Sätze werden entwickelt, die sich zum Teile schon bei Killing finden; wir können hier nur erwähnen, dass der Verfasser bei diesen Betrachtungen von der grössten invarianten integrabeln Untergruppe ausgeht, die in der betrachteten Gruppe enthalten ist. Sodann werden die nicht integrabeln Gruppen vom Range 1 betrachtet und ihre Zusammensetzungen bestimmt. Ueberraschend ist es, dass hierbei die hypergeometrische Reihe einspielt. Unter den verschiedenen Beispielen, durch die diese allgemeinen Entwickelungen erläutert werden, befindet sich eines, das die Unrichtigkeit eines von Killing häufig benutzten Satzes zeigt.
Den Schluss der ganzen Arbeit bilden Untersuchungen über einfache und halbeinfache Gruppen. Es wird bewiesen, dass jede derartige Gruppe, die linear und homogen ist, eine solche Form erhalten kann dass ihre Substitutionscoefficienten rationale Functionen der Parameter werden, ein Satz, der zu den Untersuchungen Maurers in enger Beziehung steht. Nunmehr wird untersucht, welches die kleinste Zahl von Veränderlichen ist, für die eine einfache lineare homogene Gruppe existirt, die eine der als möglich erwiesenen Zusammensetzungen hat. Die Frage wird vollständig beantwortet, und es werden für jede einzelne Zusammensetzung die vorhandenen Typen von einfachen linearen homogenen Gruppen dieser Art aufgestellt.
Wer die Liesche Integrationstheorie eines vollständigen Systems mit bekannter Gruppe kennt, wird sofort einsehen, dass diese Aufstellung für die Integrationstheorie, insbesondere für die Reduction eines vollständigen Systems auf Differentialgleichungen von kanonischer Form, ausserordentlich wichtig ist. Auch die Frage wird behandelt, welches der Raum von niedrigster Dimensionszahl ist, in dem es eine einfache Gruppe von Punkttransformationen giebt, die eine gegebene Zusammensetzung hat. Endlich wird noch gezeigt, wie man die Invarianten der adjungirten Gruppe einer beliebigen einfachen Gruppe in bequemer Weise berechnen kann, und für die vier von Lie angegebenen Klassen von einfachen Gruppen werden die endgültigen Formeln hingeschrieben, was übrigens Killing schon bei zweien dieser Klassen ausgeführt hatte.

MSC:
57-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to manifolds and cell complexes
22-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to topological groups
57Sxx Topological transformation groups