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On differential invariants of continuous groups of transformations. (Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations.) (French) JFM 25.0641.01
Acta Math. 18, 1-88 (1894); zuerst erschienen 1893 als Thèse présentée à la Faculté des Sciences de Paris, No. 794.
Der Verf. liefert eine Reihe wertvoller Beiträge zu der von Lie geschaffenen Theorie der Differentialinvarianten der continuirlichen Gruppen. Er war dabei in der glücklichen Lage, ausgedehnte mündliche Mitteilungen von um. Lie verwerten zu können, die bisher noch nicht veröffentlicht sind. Leider sagt er aber nicht immer, was er Lie verdankt, und was er als sein Eigentum beansprucht. Es wäre daher nicht mehr als billig, wenn der Verf. eine andre Gelegenheit benutzen wollte, um hierüber Klarheit zu verbreiten. Wir werden das im Folgenden wenigstens in einigen Punkten auszuführen versuchen.
Der erste Teil der Tresseschen Arbeit enthält auf Seite 4–10 einen Beweis des Satzes, dass es kein System von partiellen Differentialgleichungen giebt, dessen Gleichungen mit einander verträglich sind, und bei dem sich keine solche endliche positive ganze Zahl \(s\) finden lässt, dass alle Gleichungen \((s+1)\)-ter oder höherer Ordnung des Systems aus den Gleichungen erster bis \(s\)-ter Ordnung des Systems durch Differentiation und Elimination abgeleitet werden können. Der Beweis dieses wichtigen Satzes ist Eigentum des Verf., aber der Verf. hätte erwähnen sollen, dass ihn Lie auf das wahrscheinliche Bestehen eines solchen Satzes aufmerksam gemacht hat. Auf S. 11–17 wird eine Reihe früher veröffentlichter Liescher Sätze über die Definitionsgleichungen continuirlicher Gruppen wiederholt.
Im zweiten Teile der Arbeit denkt sich der Verf. zunächst die Differentialgleichungen gegeben, welche die endlichen Transformationen einer continuirlichen Gruppe definiren, und zeigt, wie man daraus durch Differentiationen und Eliminationen ein System von Differentialgleichungen ableiten kann, das den Inbegriff aller Lagen definirt, die eine vorgelegte Mannigfaltigkeit bei allen Transformationen der Gruppe annimmt. Dies wird benutzt, um die Definitionsgleichungen der Gruppe ohne Integration auf die von Lie angegebene Normalform zu bringen (S. 18–33). Sodann werden die Definitionsgleichungen für die infinitesimalen Transformationen der Gruppe eingeführt (S. 33–42).
Auf S. 42–54 werden, ohne Lie zu nennen, dessen Methoden entwickelt, die aus bekannten Differentialinvarianten einer Gruppe neue durch Differentiation abzuleiten gestatten, und es wird gezeigt, dass es immer eine endliche Zahl von Differentialinvarianten giebt, aus denen sich alle übrigen mit Hülfe dieser Methoden ableiten lassen. Ausserdem wird gezeigt; wie man die Kriterien dafür aufstellen kann, dass sich eine Mannigfaltigkeit \(M\) durch eine Transformation der Gruppe in eine gegebene Mannigfaltigkeit \(M'\) überführen lässt. Hier ist es besonders schwer festzustellen, was von Tresse selbst herrührt und was nicht.
Auf S. 54–59 werden die allgemeinen Theorien durch ein Beispiel (Abwickelung von Flächen auf einander) erläutert.
S. 59–65 enthält den Nachweis, dass jede Mannigfaltigkeit von gegebener Dimensionenzahl vermöge der Transformationen einer gegebenen Gruppe auf eine begrenzte Anzahl von reducirten Formen gebracht werden kann, deren Coefficienten entweder bestimmte Zahlen, oder in einfacher Weise aus den Differentialinvarianten der Gruppe abgeleitet sind. Die hierdurch erleichterte Berechnung der Differentialinvarianten der Gruppe wird auf S. 66–88 für die conforme und die allgemeine projective Gruppe des \(R_3\) sowie für eine gewisse unendliche Gruppe durchgeführt.

MSC:
57Sxx Topological transformation groups
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References:
[1] Halphen, Thèse,Sur les invariants différentiels, Paris, 1878. · JFM 10.0618.02
[2] Sur les invariants différentiels des courbes gauches, Journal de l’école polytechnique, 47me Cahier.
[3] Laguerre, Comptes rendus, t. 88, p. 116 et 224.
[4] Brioschi Bulletin de la société mathématique de France, t. VII, p. 105.
[5] Halphen,Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables, Mémoires des savants étrangers, t. 28.
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