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Das Grundproblem der Flächen- und Rauminhaltslehre. (German) JFM 25.0861.06
In der Originalarbeit des Herrn Rethy (Vergl. F. d. M. XXIII. 1891. 532-534, JFM 23.0532.01) finden sich zwei Beweise für den Satz “Congruentes von Congruentem giebt Gleiches”, angewandt auf ebene Flächenstücke. Beide Male sollte bewiesen werden, dass sich die Reststücke aus derselben Anzahl paarweise congruenter Stücke zusammensetzen lassen und also “endlich-gleich” sind. Zunächst war der Satz in einem allgemeineren enthalten: “Zur endlichen Gleichheit zweier flächengleichen ebenen Figuren ist hinreichend, dass die krummlinigen Bogen ihrer Begrenzungen gegenseitig endlich-gleich und die Krümmungen congruenter Stücke relativ zum Innern der Fläche von gleichem Sinne seien; von Stücken der Begrenzungen abgesehen, die auf demselben System ebenso oft vorkommen mit positivem als mit negativem Krümmungssinn”. Bei dem Beweise ist nun nach Dobriner (1, JFM 25.0859.01, S. 282) als Axiom vorausgesetzt: Erweisen sichzwei Flächen bei einer Zerlegung als endlich gleich, so kann es keine zweite Zerlegung geben, die sie als ungleiche Flächen erscheinen lässt. Herr Rethy ist jedoch in 3, JFM 25.0859.03) der Meinung, dass folgendes Theorem gilt: “Entfernt man aus den Flächen \(A\) und \(B\) entsprechend gleiche Stücke \(A_i\cong B_i\) \((i=1,2,\dots,n-1)\), und ist von den übrig bleibenden Resten \(A_n\) und \(B_n\) der erste congruent einem Teile des zweiten, so sind \(A\) und \(B\) ungleich, und zwar \(A<B\)”. Ein specieller Fall hiervon wäre das von Hrn. Dobriner als Axiom bezeichnete Theorem.
Nach Hrn. Rausenberger “erkennt Hr. Rethy aber den Satz durch die Art seiner Behandlung, indem er ihn als eine Folgerung aus den Grundvorstellungen über Gleichheit und Ungleichheit der Flächen bezeichnet, als Axiom an”. Für geradlinige Polygone giebt Hr. Rausenberger einen “ebenso einfachen wie strengen” Beweis. Er definirt den Flächenwert eines Polygons als algebraische Summe der Flächenwerte der Dreiecke, die seine Seiten an einem Punkte bestimmen. Der Flächenwert eines Dreiecks ist dabei das halbe Product aus Grundlinie und Höhe. Aus den beiden Sätzen \[ ABC + ACD = ABD \] (\(CD\) die Verlängerung von \(BC\)) und \[ ABD + BCD = \pm ABC \pm ADC \] kann gefolgert werden, dass der Flächenwert von dem Anfangspunkte unabhängig ist, dass der Flächenwert eines Polygons gleich der Summe der Flächenwerte von Teilpolygonen ist, und dass Polygone, die an denselben congruenten Flächen bestehen, gleichen Flächenwert haben, etc. “Freilich verlangt die Entwickelung eine von Flächenbetrachtungen unabhängige Begründung der Aehnlichkeitslehre und des Operirens mit irrationalen Strecken”, was mir ziemlich viel scheint. Im nichteuklidischen Raum würde sich die Betrachtung nach Hrn. Rausenberger dadurch vereinfachen, dass der Inhalt von den Winkeln abhängig wird, was an dem Beispiel der Geometrie auf der Kugel erläutert wird.
Die fünfte Notiz (siehe JFM 25.0859.05) bezieht sich auf einen von mir in dem oben erwähnten Referat gemachten Einwand. Der Beweis des Herrn Rethy setzte voraus, dass keine zwei Konturteile derselben ebenen Fläche in Berührung mit einander stehen. Tritt dies einmal ein, so sind, wie jetzt gezeigt wird, beide ebene Flächen zu einer dritten endlich gleich und, wofür ein ausdrücklicher Beweis nicht erbracht wird, auch unter einander endlich gleich.
Andererseits lässt sich der Satz: “Congruentes von Congruentem giebt Gleiches”, auf den Hülfssatz zurückführen: Wenn zwei congruente Flächengebilde sich teilweise überdecken, so sind die Reste endlich gleich. Waren die Flächen gleichartig congruent (auf diesen Fall liess sich der andere der ungleichartigen Congruenz zurückführen), so dass eine Drehung \(\varphi\) mit dem Mittelpunkte \(M\) die eine Fläche in die andere überführt, so benutzte Hr. Rethy die Drehungen \(\varphi\), \(2\varphi\), \(3\varphi\), ... der Fläche \(A\); nach jeder Drehung wurden die Konturstücke von \(A\), die auf \(B\) gelangen, verzeichnet. Wenn nun \(A\) eine solche Drehung um \(A\) erhalten kann, dass es gar keinen Punkt mehr mit \(B\) gemein hat, so wird das Reststück von \(B\) in solche Stücke zerlegt, aus denen man auch das Reststück von \(A\) zusammensetzen kann. Ein Specialfall hiervon tritt ein, wenn das eine Flächenstück als Parallelverschiebung des andern erscheint. Ist es nicht möglich, auf diese Art \(A\) von \(B\) abzudrehen, so muss bei den einzelnen Drehungen \(\varphi\), \(2\varphi\), \(3\varphi\), ... ein geeignetes Herausbiegen einzelner Teile von \(A\) eintreten, um die Zerlegung des Reststückes von \(B\) zu erhalten. Die Regel, die Hr. Rethy für diesen Fall giebt, ist, wie Hr. Dobriner in 1) (siehe JFM 25.0859.01) zeigt, nicht immer stichhaltig. In einem speciellen Fall, wo \(A\) und \(B\) den Drehpunkt ringförmig umschliessen, führt sie wenigstens auf einen unendlichen Teilungsprocess. In 2) (siehe JFM 25.0859.02) hebt Hr. Dobriner diese Schwierigkeit dadurch, dass er anstatt der Ebene eineRiemann’sche Fläche mit unendlich vielen Windungen um den Punkt \(M\) herum einführt. Wenn Linien existiren, die von \(M\) aus ins Unendliche führen, ohne \(A\) und \(B\) zu treffen, so kann man beide Flächengebilde (die auch aus mehreren getrennten Stücken bestehen können) eventuell auf verschiedene Windungen der Schraubenfläche so verteilen, dass kein gemeinsames Flächenstück verloren geht oder neu hinzukommt, und dass sie durch eine Drehung der Schraubenfläche in sich in einander übergehen. Wiederholt man diese Drehung genügend oft, so kann man die eine Fläche ganz über die andere hinwegführen und so den Satz erweisen.
Auf diesen Specialfall lässt sich der allgemeine Fall zurückführen, wenn man die Flächen \(A\) und \(B\) mittels aller der Kreise um \(M\) zerlegt, die einen Schnittpunkt der beiden Konturen enthalten oder beide Konturen berühren; es wird also als neue Bedingung hinzugefügt, dass die Kontur von \(M\) nur eine endliche Anzahl von Loten aus \(M\) erhält. In 3) (JFM 25.0859.03) und 4) (siehe JFM 25.0859.04) entwickelt Hr. Rethy, der nur von der ersten Arbeit Kenntnis genommen hatte, ein analoges Verfahren, das auf der Abbildung des Kreisringes auf den Parallelstreifen beruht, aber hinter dem Dobriner’schen Verfahren bei weitem an Anschaulichkeit zurücksteht.

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