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Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. \(\text{III}^{\text{e}}\) Partie. Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces. \(\text{IV}^{\text{e}}\) Partie. Déformation infiniment petite et représentation sphérique. (French) JFM 25.1159.02

Paris. Gauthier-Villars et Fils (1894 et 96) (1894).
Das ausgezeichnete Werk, dessen zwei erste Bände schon in dem Jahrgange 1887 besprochen worden (pag. 746 u. ff., JFM 19.0746.02), liegt nunmehr vollendet vor. Es ist ein Meisterwerk hohen Ranges in Beziehung auf Inhalt und Form, auch nicht weniger in Beziehung auf die Anregungen, welche sein Studium hervorruft. Wir müssen uns hier, wie bei der Besprechung der zwei ersten Bände, auf eine gedrängte Inhaltsangabe beschränken, ohne bei jeder Einzelheit die überraschende Originalität des Vortrags, welche stets den Wert der besprochenen Originalarbeiten erhöht, besonders hervorheben zu können.
Der dritte Band des Werkes zerfällt in zwei Bücher, VI und VII. Das sechste Buch handelt von der Bestimmung der geodätischen Linien und der geodätischen Krümmung der Flächen. Das erste Capitel des Buches behandelt diese Bestimmung bei den Rotationsflächen. Es giebt schöne Betrachtungen über die Flächen, für welche die geodätischen Linien im allgemeinen geschlossen sind, nebst einer charakteristischen Eigenschaft der Flächen constanter positiver Krümmung. Alsdann folgen diejenigen Flächen, deren Linienelement auf die Form: \[ ds^2 = (U - V)(U_1^2du^2 + V_1^2dv^2) \] gebracht werden kann, nebst schönen geometrischen Anwendungen.
Das zweite Capitel behandelt die homogenen Integrale ersten und zweiten Grades der geodätischen Linien auf Grund der Jacobi’schen Theorie der dynamischen Gleichungen. Es ergiebt sich das Massieu’sche Theorem über die Rotationsflächen und der Satz, dass die Integrale zweiten Grades an die Flächen vom Liouville’schen Linienelement gebunden sind, mit Ausnahme des Lie’schen (imaginären) Elements.
Capitel III enthält die geodätische Abbildung zweier Flächen auf einander mit Zugrundelegung der Arbeiten von Beltrami und Dini und Hinzufügung einer ausgezeichneten Entwickelung zur Theorie der Differentialgleichungen. Es folgt im IV. Capitel eine Untersuchung in Beziehung auf die homogenen Integrale höheren Grades der Differentialgleichung der geodätischen Linien. Im folgenden findet man eine schöne Untersuchung über die kürzeste Verbindung zweier Punkte einer Fläche. Das VI. Capitel bespricht die Theorie der geodätischen Krümmung und das Gauss’sche Theorem der Darstellung der totalen Krümmung in einem gegebenen Punkte durch die Coefficienten des Linienelements. Es folgt im VII. Capitel die Theorie der geodätischen Kreise, im VIII. die der geometrischen Dreiecke von Gauss, nebst Hinweisung auf eine Arbeit von Christoffel und zugehörige Entwickelungen.
Das siebente Buch giebt im I. Capitel eine Darstellung der von Beltrami eingeführten Theorie des Differentialparameters nebst schönen Anwendungen. Im II. Capitel wird die fundamentale Frage behandelt, wie sich erkennen lässt, ob zwei Flächen, deren Linienelemente gegeben sind, auf einander abwickelbar sind oder nicht, nebst vielen zugehörigen Einzelheiten. Hierbei erfolgt die schöne Untersuchung der Frage, welche Regelflächen besitzen das Linienelement einer Rotationfläche? und der anderen: welche geradlinigen Flächen sind auf ebensolche abwickelbar, ohne dass sich die geraden Linien nach der Abwickelung correspondiren?
Im dritten Capitel folgen die von Gauss in den Disquisitiones gegebenen Formeln, die direct zur Aufstellung der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung führen, von der die Bestimmung aller Flächen abhängt, die auf eine gegebene abwickelbar sind, welche im folgenden Capitel auf verschiedenen Wegen abgeleitet und discutirt wird. Die schöne Bemerkung, dass die Charakteristiken dieser Differentialgleichung die asymptotisohen Linien der Fläche sind, findet hier ihre Stelle.
Das V. Capitel giebt eine elegante und kurze Darstellung der Theorie der Charakteristiken der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, nebst Anwendungen auf die vorgelegte. Es folgt weiter der Bonnet’sche Satz, dass zwei Flächen, die mit Correspondenz ihrer asymptotischen Linien auf einander abwickelbar sind, identisch oder symmetrisch sind.
Capitel VI handelt von der Deformation der geradlinigen Flächen.
Das VII. Capitel giebt die Sätze des Herrn Weingarten über den Zusammenhang der auf Rotationsflächen abwickelbaren Flächen und der Centraflächen derjenigen Flächen, zwischen deren Hauptkrümmungsradien eine Gleichung besteht. Die schöne Entwickelung der Gleichungen aller Flächen, welche auf das reelle Rotationsparaboloid abwickelbar sind, giebt diesem Capitel einen besonderen Wert.
Im VIII. Capitel erfolgt eine ausführliche Untersuchung über die Krümmungsmittelpunktsflächen und im IX. Anwendungen auf die “surfaces \(W\)”, eine Bezeichnung, die der Verfasser den Flächen beilegt, für welche der eine Hauptkrümmungsradius eine Function des anderen ist, und eine ausgezeichnete Entwickelung der Gleichungen aller Flächen, welche auf ein Rotationsparaboloid (reell oder imaginär) abwickelbar sind.
Das X. Capitel behandelt Anwendungen der Weingarten’schen Sätze, vornehmlich auch die schönen Entwickelungen, welche Herr Bianchi in Beziehung auf die Flächen constanter negativer Krümmung gegeben hat.
Das XI. Capitel giebt eine vortreffliche Darstellung der Geometrie auf den Flächen constanter negativer Krümmung, mit Hinweisungen auf die nicht-euklidische Geometrie der Ebene.
Es folgt im Capitel XII die Transformation der Flächen constanter Krümmung, zunächst die Transformation Bianchi’s und die Lie’sche Bemerkung über die Bestimmung der geodätischen Linien der durch dieselbe successive erreichten Flächen. Hieran schliessen sich alsdann die Sätze von Ribaucour über Orthogonalflächen mit einer Schar von Flächen constanter negativer Krümmung. In helles Licht gesetzt werden die besprochenen Sätze durch eine schöne analytische Methode, die aus einem System zweier simultanen Differentialgleichungen durch successive Quadraturen neue Integrale desselben mit beliebig vielen willkürlichen Constanten herzuleiten erlaubt. Auch die Baecklund’sche Transformation findet hier ihre Stelle. Es folgen im nächsten Capitel weitere interessante analytische Entwickelungen in Beziehung auf die angeregten Fragen. Das XIV. Capitel schliesst das siebente Buch mit einer Reihe bemerkenswerter Zusammenstellungen und Analogien aus der Theorie der Flächen constanter Krümmung und derjenigen der Minimalflächen.
Der IV. Band des Werkes umfasst ein einziges Buch, das achte, welches sich mit der Theorie der unendlich kleinen Deformationen einer Fläche und der sphärischen Abbildung der Flächen beschäftigt, dabei aber auch auf viele mit diesen Fragen in entfernterer Verbindung stellende Gegenstände eingeht. Bekanntlich entspricht die Frage nach den unendlich kleinen Deformationen einer Fläche auch der anderen nach denjenigen der gegebenen Punkt für Punkt derart entsprechenden Flächen, dass die Linienelemente der ersten auf den entsprechenden Elementen der letzteren stets senkrecht stehen.
In dem I. Capitel wird die Lösung der Aufgabe auf die einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung zurückgeführt; einige Anwendungen werden gegeben. Im zweiten wird eine zweite Behandlung durchgeführt, welche die allgemeine Lösung auf eine allgemeinere partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit gleichen Invarianten zurückführt, d. h. auf eine Gleichung der Form: \[ \frac{\partial^2\theta}{\partial\alpha\partial\beta} = \varkappa\theta. \] Die entsprechenden Formeln sind zuerst von Herrn Lelieuvre gegeben worden. Den Schluss des Capitels, bilden einige allgemeine wichtige Bemerkungen über die Herleitung der allgemeinen Gleichungen der unendlich kleinen Deformation. Es folgt das dritte Capitel, welches zwölf mit der unendlich kleinen Deformation einer Fläche in Verbindung stehende Flächen einführt und Theoreme, welche den Herren Guichard, Cosserat und Koenigs verdankt werden, bespricht, die hier mitzuteilen uns zu weit führen würde. Der innige Zusammenhang derselben mit der Theorie der Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit gleichen Invarianten tritt hervor. Das vierte und fünfte Capitel enthalten wichtige und interessante Anwendungen und die Einführung der “inversion composée”. Es folgt im fünften Capitel eine Reihe verschiedener Anwendungen, die Bedeutung der Voss’schen Flächen für die behandelte Theorie und geometrische Betrachtungen des Herrn Guichard. Das Capitel VI enthält eine ausgezeichnete Behandlung des Rollens einer Fläche auf einer auf sie abwickelbaren. Es folgen die Entwickelungen über cyklische Systeme und sich daran anschliessende Sätze über auf einander abwickelbare Oberflächen, die ihren Ursprung in von Ribaucour gegebenen Theoremen haben. Die Zusammenhänge zwischen der Frage der unendlich kleinen Deformationen und der sphärischen Abbildung der Flächen werden klargelegt. Neue Definition der wichtigen “inversion composée.”
Den Schluss des Capitels bildet die Bestimmung aller Orthogonalsysteme, für welche die eine Flächenschar aus Flächen mit einem Systeme ebener Krümmungslinien besteht, die sich hier an eine Ribaucour’sche Bemerkung anschliesst.
Es folgt im Capitel VIII die vollständige Behandlung der sphärischen Abbildung einer Fläche, d. h. die Aufsuchung aller Flächen von gegebener sphärischer Abbildung. Sie führt, wie das Problem der unendlich kleinen Deformation, auf eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit gleichen Invarianten. Weiter folgt im Capitel IX eine Anwendung der gegebenen Resultate auf die Flächen mit ebenen Krümmungslinien und im nächsten Capitel die Betrachtung der isothermen Flächen dieser Gattung, die mit den von Enneper gegebenen Flächen constanter Krümmung zusammenhängen. Diese Anwendung ist von ungemeiner Eleganz. Darauf folgt im X. Capitel eine schöne Untersuchung über die Flächen mit einem System sphärischer Krümmungslinien.
Unter dem Titel “verschiedene Verallgemeinerungen” bringt das XII. Capitel ausgezeichnete Entwickelungen über ein System partieller Differentialgleichungen, das eine Verallgemeinerung des von Lamé für Orthogonalsysteme aufgestellten darstellt, und schöne Anwendungen derselben, auf deren Besprechung wir hier verzichten müssen.
Das Capitel XIII beschäftigt sich mit den Entwickelungen, durch die neuerdings Herr Weingarten neue Klassen auf einander abwickelbarer Flächen angegeben hat, welchen Entwickelungen der Verfasser eine breitere Basis giebt und vieles Neue hinzufügt. Auch die Arbeiten von Baroni und Goursat werden berücksichtigt. Das letzte Capitel bespricht eine Methode des Herrn Weingarten, das Problem der abwickelbaren Flächen zu formuliren, welche derselbe in einer von der Pariser Akademie gekrönten Abhandlung entwickelt hat, die jüngst in den “Acta Mathematica” publicirt worden ist. Die gewählte Behandlung setzt diese Methode in ein helleres Licht und verleiht ihr durch die Hinzufügung neuer geometrischer Sätze einen erhöhten Wert. Mit diesen letzten Untersuchungen schliesst der vierte Band.
Es folgen 11 Noten, von denen wir nur die Titel mitteilen. Die drei ersten rühren nicht vom Verf. selbst her, aber der Genuss, den ihre Lectüre gewährt, beweist, dass sie an rechter Stelle stehen. Die Titel dieser Noten, die wichtige Ergänzungen des Ganzen bieten, sind:
1) Sur les méthodes d’approximations successives dans la théorie des équations différentielles par M. Emile Picard.
2) Sur les géodésiques à intégrales quadratiques par M. G. Koenigs.
3. Sur la théorie des équations aux dérivées partielles du second ordre par M. E. Cosserat.
und
4) Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion constante.
5) Sur les formules d’Euler et sur le déplacement d’un solide invariable.
6) Note sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales.
7) Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d’un ombilic.
8) Sur les lignes asymptotiques et sur les lignes de courbure de la surface de Fresnel.
9) Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à génératrice circulaire.
10) Sur les équations aux dérivées partielles.
11) Sur l’équation auxiliaire.
Es folgt schliesslich eine alphabetische Angabe des gesamten Inhalts des Werkes, nach den verschiedenen Materien zusammengestellt, und eine Tabelle der Namen der citirten Autoren, die vier Seiten umfasst.

Citations:

JFM 19.0746.02