Contribuzione al fondamento della teoria degli insiemi transfiniti. Art. I. Traduzione italiana di F. Gerbaldi. (Italian) JFM 26.0081.02

Cantor, G.

Rivista di Mat. V. 129-162 (1895).

Die in dieser Abhandlung (siehe auch JFM 26.0081.01) enthaltenen Begriffe und Resultate sind zum Teil aus früheren Schriften des Verfassers bekannt. Nichts desto weniger war eine systematische und strenge Darlegung derselben, wie sie uns jetzt vorliegt, um so mehr zu wünschen, als es sich um eine etwas abstruse Theorie handelt, welche zu manchen Missdeutungen und Streitigkeiten Anlass gegeben hat.
Von den Begriffen “Menge” und “Mächtigkeit” oder “Cardinalzahl” ausgehend (§1), definirt der Verfasser das Gleich-, Grösser- und Kleinersein zweier Cardinalzahlen (§2) und weist darauf hin, dass man vorläufig nur beweisen kann, dass jede dieser Möglichkeiten die zwei übrigen ausschliesst, nicht aber, dass eine derselben notwendigerweise vorkommen muss. Der Addition, Multiplication und Potenzirung der Cardinalzahlen sind die §§3, 4 gewidmet; die beiden ersteren Operationen sind commutativ, associativ und distributiv. Es werden dann die Haupteigenschaften der endlichen Cardinalzahlen auseinandergesetzt (§5). Der Inbegriff aller endlichen Cardinalzahlen bildet ein erstes Beispiel einer “transfiniten” Menge, d. i. einer Menge, deren Cardinalzahl nicht endlich ist. Hr. Cantor bezeichnet (§6) die Cardinalzahl dieser Menge durch \(\aleph_0\) (“Aleph-Null”) und beweist, dass sie grösser als jede endliche und zugleich kleiner als jede andere transfinite Cardinalzahl ist, dass ferner: \[ \aleph_0.\nu = \nu.\aleph_0 = \aleph_0,\quad \aleph_0^\nu = \aleph_0 \] ist, wo \(\nu\) eine beliebige endliche Cardinalzahl bedeutet. Es folgen auch die zwei wichtigen Sätze:
Eine endliche Menge ist keiner ihrer Teilmengen äquivalent.
Jede unendliche Menge enthält Teilmengen, welche der gegebenen Menge äquivalent sind.
Es sollte sich jetzt darum handeln, nachzuweisen, dass die transfiniten Cardinalzahlen eine “wohlgeordnete Menge” bilden, und die Gesetze anzugeben, durch welche die Reihe der Cardinalzahlen ins Unendliche fortgesetzt werden darf (vgl. G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig, Teubner, 1883; F. d. M. XV. 1883. 453, JFM 15.0453.01). Als eine Vorbereitung dazu gilt die Theorie der “einfachen Ordnungstypen”, welche den Gegenstand der fünf letzten Paragraphen (§§7-11) bildet. Besonders interessant ist die Aufstellung der charakteristischen Eigenschaften der Ordnungstypen \(\eta\), \(\vartheta\) der Menge der im Intervalle 0...1 liegenden, ihrer zunehmenden Grösse nach geordneten rationalen, bezw. reellen Zahlen.

Reviewer: Vivanti, Prof. (Messina)

JFM Section:

Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie. Capitel 2. Philosophie und Pädagogik. A. Philosophie.

Citations:

JFM 26.0081.01; JFM 15.0453.01