×

zbMATH — the first resource for mathematics

The unimodular substitutions in an algebraic number field. (Die unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkörper.) (German) JFM 26.0109.01
Wenn zwischen den Zahlenpaaren \(x\), \(y\) und \(x'\), \(y'\) die Gleichungen \[ \begin{cases} x' &= \alpha x + \beta y,\\ y' &= \gamma x + \delta y\end{cases} \tag{1} \] bestehen, so sagt Verf., dass durch die Substitution \[ S = \begin{pmatrix} \alpha,&\beta\\ \gamma,&\delta\end{pmatrix} \] das Zahlenpaar \(x\), \(y\) in das Zahlenpaar \(x'\), \(y'\) übergeht; die Gleichungen (1) werden auch symbolisch durch \[ (x',y') = S(x,y)\tag{2} \] angedeutet. Die Zusammensetzung der Substitutionen \[ S = \begin{pmatrix} \alpha,&\beta\\ \gamma,&\delta\end{pmatrix},\qquad S_1 = \begin{pmatrix} \alpha_1,&\beta_1\\ \gamma_1,&\delta_1\end{pmatrix} \] geschieht nach der Formel \[ SS_1 = \begin{pmatrix} \alpha\alpha_1+\beta\gamma_1,&\alpha\beta_1+\beta\delta_1\\ \gamma\alpha_1+\delta\gamma_1,&\gamma\beta_1+\delta\delta_1\end{pmatrix};\tag{3} \] d.h. wenn neben den Gleichungen (2) die Gleichungen \[ (x,y) = S_1(x_1,y_1) \] bestehen, so ergiebt die Elimination von \(x\), \(y\): \[ (x',y') = SS_1(x_1,y_1) = T(x_1,y_1), \] wo \(T\) die auf der rechten Seite der Gleichung (3) stehende Substitution bezeichnet.
In der vorliegenden Arbeit handelt es sich vorzugsweise um die ganzzahligen unimodularen Substitutionen in einem algebraischen Zahlenkörper \(K\), d. h. um diejenigen Substitutionen \(S\), deren Coefficienten \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) ganze Zahlen des Körpers \(K\) sind, und deren Determinante \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\) ist. Diese Substitutionen bilden, wie ein Blick auf die Zusammensetzungsformel (3) lehrt, eine Gruppe \(G\). Die Untersuchung der Gruppe \(G\) hat sowohl ein zahlentheoretisches wie ein functionentheoretisches Interesse, wie aus den Arbeiten der Herren Fricke und Bianchi hervorgeht. Bei Fricke steht das functionentheoretische Interesse voran; es handelt sich bei ihm um gewisse Untergruppen der Gruppe \(G\) von speciellem Charakter. Bianchi’s Arbeiten haben einen mehr zahlentheoretischen Charakter und beziehen sich vorzugsweise auf den Fall, wo \(K\) ein imaginärer quadratischer Körper ist.
Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit, die rein zahlentheoretischer Natur ist, liegt in dem Satze enthalten, dass die Gruppe \(G\) stets eine endliche Basis besitzt, d. h. dass es eine endliche Zahl von Substitutionen der Gruppe \(G\) giebt, aus welchen sich alle Substitutionen dieser Gruppe durch Zusammensetzung erzeugen lassen. Dieses allgemeine Resultat findet in einer grösseren Reihe von speciellen Fällen durch die Untersuchungen des Hrn. Bianchi seine Bestätigung und lässt sich auf beliebig viele Variabeln ausdehnen.

MSC:
11F06 Structure of modular groups and generalizations; arithmetic groups
11E57 Classical groups
20G30 Linear algebraic groups over global fields and their integers
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML