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Theorems in the calculus of enlargement. (English) JFM 26.0312.01

Die Arbeit ist eine Weiterführung einer vom Verf. im American J. II (F. d. M. XI. 1879. 196, JFM 11.0196.02) veröffentlichten. Es handelt sich um einen symbolischen Operationscalcul, der die gewöhnliche Differenzen- und Differentialrechnung umfassen soll. Es sei an die Grundlage dieses Calculs erinnert.
Die symbolische Potenz \(E^h\) drücke aus, dass man das Argument \(x\) einer Function um \(h\) vermehrt hat, also: \[ E^h\varphi(x) = \varphi(x+h), \] und speciell für \(h=1\): \[ E\varphi(x) = \varphi(x+1). \] Zieht man von der letzteren Gleichung die Identität \(\varphi(x)=\varphi(x)\) ab, so kommt sofort \[ (E-1)\varphi(x) = \varphi(x+1) - \varphi(x). \] Wird demnach \(\varphi(x+1)-\varphi(x)\), die Einheit des Differenzenprocesses, mit \(\Delta\varphi(x)\) bezeichnet, so hat man als erste Verbindungsformel (die schon früher bekannte): \[ \Delta = E - 1. \] Zieht man dagegen die Identität \(\varphi(x)=\varphi(x)\) von der Definitionsgleichung für \(E^h\) ab und dividirt mit \(h\), so erhält man: \[ \frac{E^h-1}h\varphi(x) = \frac{\varphi(x+h) - \varphi(x)}h. \] Geht man hier zur Grenze für \(h=0\) über, so erscheint links vermöge einer bekannten Formel aus der Differentialrechnung \(lE\), rechts der Differentialquotient \(D\varphi(x)\); somit sind die Operationen \(E\) und \(D\) durch die fundamentale Relation verbunden: \[ D = lE,\quad E = e^D. \] In diesem Sinne sagt der Verfasser: Legt man den Process \(E\) zu Grunde und stellt sich die Aufgabe, die verschiedenen Functionen von \(E\) (formal) zu studiren, sie in Reihen zu entwickeln etc., so erscheint die Differentialrechnung als die Algebra der Logarithmen in dieser theory of enlargement.
Auf diese Weise gelangt der Verf. u. a. zu einer ganzen Reihe formal sehr verschiedener Darstellungen der Taylor’schen Reihe und von Verallgemeinerungen derselben, sowie andererseits zu solchen für die entsprechenden Reihen der Differenzenrechnung. Von Interesse sind insbesondere solche Reihen, die nach Factoriellen \[ x^{(m)} = x(x-1)\dots(x-m+1) \] fortschreiten.
Als besondere Fälle erscheinen zwei bekannte Formeln von Lagrange und Laplace, von denen die erstere für \(y=z+x\varphi(y)\) eine Function \(f(y)\) nach Potenzen von \(x\) entwickelt, während bei der letzteren \(y\) selbst wieder eine beliebige Function von \(z+x\varphi(y)\) ist.
Der Verfasser verfehlt nicht, hinzuzufügen: “Continuity and intelligibility of results (equivalent in the case of series to convergence) are always presupposed.”
Referent steht allerdings auf dem Standpunkt, dass heutzutage jene naive Periode der Forschung überwunden sein sollte, in der man aus Freude über neue Entwickelungsformen die Frage nach deren Gültigkeitsbereich als unwesentlich bei Seite schob. Was nützen die schönsten und allgemeinsten Entwickelungsreihen, wenn man niemals weiss, wann und ob man sie anwenden darf?
Damit soll indessen das Verdienst des Verfassers, eine interessante Vorarbeit zu eingehenderen Forschungen geliefert zu haben, nicht geschmälert werden.

Citations:

JFM 11.0196.02
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