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Sur les invariants ponctuels de l’équation différentielle ordinaire du second ordre. (French) JFM 26.0340.01
Die Methoden zur Bestimmung von Differentialinvarianten, die Hr. Tresse im Anschlusse an Lie’s Untersuchungen in der Abhandlung Acta Mathematica XVIII entwickelt hatte, wendet er hier an auf die Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \omega\left(x, y, \frac{dy}{dx}\right),\tag{1} \] die einer Punkttransformation \[ x' = X(x,y),\quad y' = Y(x,y)\tag{2} \] unterworfen wird, und gelangt dabei zu folgendem Resultate:
Alle Invarianten ergeben sich durch Anwendung von drei Differentialparametern \(\varDelta_z\), \(\varDelta_x\), \(\varDelta_y\) auf vier Invarianten \(\omega_4\), \(\Omega_6\), \(H\), \(\Omega_{10}^5\), und man kann mit Hülfe dieser Invarianten die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufstellen, dass die Gleichung (1) durch eine Transformation (2) in eine gegebene Gleichung derselben Form übergeführt wird.
Eine Ausnahme bilden die Gleichungen, bei denen \[ \omega_4 = 0 \] ist. Sie haben die Form \[ \frac{d^2y}{dx^2} = a_0\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 - a_2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - b_2\frac{dy}{dx} - b_0 \] und sind von den Herren R. Liouville und Tresse bereits früher eingehend untersucht worden.
Die ausführlichen Formeln und Beweise findet man in Bd. 32 der Preisschriften der Fürstlich Jablonowski’schen Gesellschaft der Wissenschaften (Leipzig 1896).

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Full Text: Gallica