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On functions of \(n\) complex variables. (Sur les fonctions de \(n\) variables complexes.) (French) JFM 26.0456.02
Die vorliegende Arbeit bezeichnet einen wesentlichen Fortschritt in der allgemeinen Theorie der analytischen Functionen mehrerer Variabeln. Für Functionen einer Veränderlichen gilt bekanntlich der Satz von Weierstrass, nach welchem eine Function, die nur die eine wesentlich singuläre Stelle \(\infty\) besitzt, als Quotient zweier ganzen Functionen (also als Quotient zweier beständig convergirenden Potenzreihen) darstellbar ist. Der entsprechende Satz für Functionen von zwei Veränderlichen ist mit recht complicirten Hülfsmitteln von H. Poincaré [Acta Math. 2, 97–103 (1883; JFM 15.0358.01)] bewiesen worden. Herrn Cousin ist es gelungen, durch verhältnismässig einfache Betrachtungen den allgemeinen Satz zu beweisen: “Eine eindeutige analytische Function von beliebig vielen Veränderlichen lässt sich, wenn sie im Endlichen nur ausserwesentliche singuläre Stellen besitzt, darstellen als Quotient zweier ganzen Functionen, welche nur an den Unbestimmtheitsstellen der darzustellenden Function gleichzeitig verschwinden.” Dieser Satz oder vielmehr ein noch allgemeinerer, der ihn als speciellen Fall enthält, erscheint bei Herrn Cousin in enger Verbindung mit einem anderen Satze, der als Übertragung des Mittag-Leffler’schen Theoremes auf Functionen mehrerer Variabeln angesehen werden kann. Um den Gang der Untersuchung kurz angeben zu können, muss ich einige vom Verfasser gebrauchte Bezeichnungen vorausschicken. Es handelt sich zunächst um Functionen der \(n+1\) complexen Variabeln \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), \(y\). Jedes Wertsystem \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) wird als ein “Punkt \(x\)” und dem entsprechend eine Function der genannten \(n+1\) Variabeln kurz mit \(f(x, y)\) bezeichnet. Die Function \(f(x, y)\) sei nun regulär, wenn \(x\) im Innern eines gewissen Bereiches \(\Gamma\) und \(y\) im Innern eines gewissen Bereiches \(\gamma\) liegt, welcher letztere in der Ebene der complexen Veränderlichen \(y\) durch eine geschlossene Curve begrenzt sei. Der Verfasser betrachtet dann das Integral \[ \Phi(x,y) = \frac1{2i\pi}\int_a^b \frac{f(x,z)\,dz}{z-y}, \] erstreckt in der \(y\)-Ebene längs einer von \(a\) nach \(b\) führenden Linie \(ab\), welche ganz in \(\gamma\) verläuft. Die Function \(\Phi(x, y)\) ist regulär, so lange \(x\) auf den Bereich \(\Gamma\) eingeschränkt bleibt und \(y\) der einen Bedingung genügt, dass der Punkt \(y\) nicht auf die Linie \(ab\) fällt. Beim Überschreiten dieser Linie hat die Fortsetzung von \(\Phi(x,y)\) den Ausdruck \(\Phi(x,y)\pm f(x,y)\), wobei das Vorzeichen vom Sinne des Ueberschreitens abhängt; ferner ist die Fortsetzung von \[ \Phi(x,y) - \frac{f(x,y)}{2\pi i}\lg(b-y) \] beim Punkte \(b\) und die Fortsetzung von \[ \Phi(x,y) + \frac{f(x,y)}{2\pi i}\lg(a-y) \] beim Punkte \(a\) regulär. Sind jetzt \(a_1b\), \(a_2b\), ..., \(a_nb\) Linien, die in der \(y\)-Ebene liegen und denselben Endpunkt \(b\) haben, bezeichnet ferner \(f_p(x,y)\) eine Function, die regulär ist, so lange \(x\) auf einen bestimmten Bereich \(\Gamma\) und \(y\) auf einen Bereich \(\gamma_p\) eingeschränkt bleibt, welcher die Linie \(a_pb\) enthält, so stellt die Summe \[ \Phi(x,y) = \frac1{2i\pi}\sum_{p=1}^n \int_{a_p}^b \frac{f_p(x,z)dz}{z-y}, \] eine Function vor, deren Verhalten nach dem Vorhergehenden leicht festzustellen ist. Insbesondere wird die analytische Fortsetzung von \[ \Phi(x,y) - \frac1{2i\pi}\lg(b-y) \sum_{p=1}^n f_p(x,z) \] in der Umgebung der Stelle \(y=b\) regulär sein. Daher wird, wenn \(\sum f_p(x,y)=0\) oder \(2\pi ik\) ist (unter \(k\) eine Constante verstanden) \(\Phi(x,y)\), bez. \(\Phi(x,y)-\lg(b-y)^k\) in der Umgebung von \(b\) regulär sein. Diese Sätze dienen nun zur Begründung eines fundamentalen Theorems, welches seinerseits die Grundlage für die weiteren Untersuchungen des Verfassers bildet. Der Punkt \(x(x_1, x_2,\dots, x_n)\) werde ein für alle Mal auf das Innere eines bestimmten Bereiches \(\Gamma\) eingeschränkt. Wenn dann von einer Function \(f(x,y)\) gesagt wird, sie sei regulär für einen bestimmten Wert von \(y\), so soll dies heissen, dass sie für die Zusammenstellung dieses Wertes mit jedem beliebigen in \(\Gamma\) befindlichen Punkte \(x\) regulär ist. Es wird ferner nur von solchen Functionen \(f(x,y)\) die Rede sein, welche in den in Betracht kommenden Bereichen eindeutig und ohne Lückenraum (natürliche Grenzen) sind. Letzteres ist so zu verstehen, dass in jeder noch so kleinen Umgebung eines beliebigen Punktes des Bereiches sich solche Stellen finden, an welchen die Function sich regulär verhält. Wenn zwei solche Functionen für einen gewissen Bereich definirt sind, so heissen sie für diesen Bereich oder für eine bestimmte Stelle dieses Bereiches äquivalent, falls ihre Differenz in dem Bereiche, resp. in einer gewissen Umgebung der Stelle des Bereiches sich regulär verhält.
Es sei nun \(S\) ein Bereich in der \(y\)-Ebene. Dieser werde in die Teilbereiche \(R_1\), \(R_2\), ..., \(R_m\) zerlegt, von welchen jeder durch eine einfache geschlossene Linie begrenzt wird. Sind \(R_n\) und \(R_p\) zwei an einander grenzende Bereiche, so mögen die gemeinsamen Randteile derselben mit \(l_{np}\) oder \(l_{pn}\) bezeichnet werden, je nachdem sie mit einem in Bezug auf \(R_n\) oder \(R_p\) positiven Durchlaufungssinne genommen werden. Jedem Bereiche \(R_p\) sei eine Function \(f_p(x,y)\) zugeordnet, die definirt ist, wenn \(x\) dem Bereiche \(\Gamma\) und \(y\) einem Bereiche \(\mathfrak R_p\) angehört, welcher \(R_p\) umschliesst. Wenn \(R_p\) und \(R_n\) an einander stossen, so haben \(\mathfrak R_p\) und \(\mathfrak R_n\) ein gemeinsames Stück, in welchem \(f_p\) und \(f_n\) zugleich definirt sind. Es wird angenommen, dass in diesem Stück \(f_p\) und \(f_n\) äquivalent sind. Liegt der Punkt \(a\) des Gebietes \(S\) im Innern von \(R_p\), so heisse \(f_p\) die dem Punkte \(a\) “entsprechende” Function; wenn aber im Punkte \(a\) zwei oder mehrere der Bereiche \(R_1\), \(R_2\), ..., etwa die Bereiche \(R_p\), \(R_q\), \(R_s\), ..., an einander stossen, so soll eine beliebige der Functionen \(f_p\), \(f_q\), \(f_s\), ... als dem Punkte \(a\) “entsprechend” bezeichnet werden. Dies vorausgeschickt, lautet das Fundamentaltheorem des Herrn Cousin so: “Es giebt eine für das Innere des Bereiches \((\Gamma,S)\) eindeutige, keinen Lückenraum besitzende Function \(F(x,y)\), die für jeden Punkt \(a\) im Innern von \(S\) der \(a\) entsprechenden Function äquivalent ist.” Der Beweis stützt sich auf die Betrachtung der Function \[ \Phi(x,y) = \frac1{2i\pi}\sum \int_{l_{np}} \frac{f_p(x,z)-f_n(x,z)}{z-y}dz, \] wo die Summe über alle Indicespaare \(n\), \(p\) zu erstrecken ist, denen an einander stossende Bereiche \(R_n\), \(R_p\) entsprechen. Diese Function definirt im Innern jedes einzelnen Bereiches \(R_n\) eine reguläre Function \(\varphi_n(x,y)\). Die durch die Gleichung \[ F(x,y) = \varphi_n(x,y) + f_n(x,y) \] für jeden einzelnen Bereich \(R_n\) definirte Function erweist sich dann im ganzen Innern von \(S\) eindeutig und besitzt daher die im Satze genannte Eigenschaft. Ein zweiter ähnlicher Satz gilt, wenn für jeden Bereich \(\mathfrak R_p\) an Stelle von \(f_p(x,y)\) der Logarithmus einer in \(\mathfrak R_p\) regulären Function \(u_p(x,y)\) gesetzt wird, wobei dann von den letzteren vorauszusetzen ist, dass der Quotient \(\frac{u_n(x,y)}{u_p(x,y)}\) regulär und von Null verschieden ist in dem \(\mathfrak R_n\) und \(\mathfrak R_p\) gemeinsamen Gebiete. Aus diesem zweiten Satze ergiebt sich dann unmittelbar ein dritter, den ich seiner Wichtigkeit wegen besonders hervorhebe: “Es giebt eine im Innern des Bereiches \((\Gamma,S)\) reguläre Function \(U(x,y)\) von der Eigenschaft, dass in jedem Punkte \(a\), welcher im Innern von \(S\) liegt, der Quotient \(\frac{U(x,y)}{u_p(x,y)}\) regulär und von Null verschieden ist, unter \(u_p(x,y)\) die dem Punkte \(a\) “entsprechende” Function verstanden.” Mit diesen Hülfsmitteln beweist der Verfasser nun eine Reihe von Sätzen, von welchen ich nur einige erwähnen will, indem ich dieselben der Kürze halber zugleich nur für Functionen von zwei Variabeln ausspreche.
Es seien \(S_1\) und \(S_2\) zwei Bereiche in den Ebenen der complexen Variabeln \(x\) und \(y\) bezüglich; \(s_1\) sei ein ganz in \(S_1\) und \(s_2\) ein ganz in \(S_2\) enthaltener Bereich. Jedem Punkte \((a,b)\) im Innern des Bereiches \((S_1,S_2)\) entspreche 1) ein Kreis \(\Gamma_{ab}\) mit dem Centrum \(a\), der ganz innerhalb \(S_1\), und ein Kreis \(\gamma_{ab}\) mit dem Centrum \(b\), der ganz innerhalb \(S_2\) liegt; 2) eine Function \(f_{ab}(x,y)\), die im Innern des Bereiches \((\Gamma_{ab},\gamma_{ab})\) eindeutig und ohne Lückenraum definirt ist. Es wird angenommen, dass in jedem Punkte \((a',b')\), der im Innern des Bereiches \((\Gamma_{ab},\gamma_{ab})\) liegt, \(f_{ab}(x,y)\) mit der dem Punkte \((a',b')\) entsprechenden Function \(f_{a'b'}(x,y)\) äquivalent ist. Dann giebt es eine Function \(F(x,y)\), die im Innern des Bereiches \((s_1,s_2)\) eindeutig ist, ferner keinen Lückenraum besitzt und für jeden Punkt dieses Bereiches der dem Punkte entsprechenden Function \(f(x,y)\) äquivalent ist. Unter Beibehaltung der vorstehenden Bezeichnungen nehme man an, dass statt der Functionen \(f_{ab}(x,y)\) einzelnen Stelle \((a,b)\) eine Function \(v_{ab}(x,y)\) zugeordnet sei, welche im Innern des Bereiches \((\Gamma_{ab},\gamma_{ab})\) regulär ist, dass ferner \(\frac{v_{ab}(x,y)}{v_{a'b'}(x,y)}\) in der Umgebung der Stelle \((a',b')\) regulär und von Null verschieden sei. Dann giebt es eine im Innern des Bereiches \((s_1,s_2)\) reguläre Function \(V(x,y)\) von der Beschaffenheit, dass für jede Stelle \((a,b)\) im Innern des Bereiches \((s_1,s_2)\) der Quotient \(\frac{V(x,y)}{v_{ab}(x,y)}\) regulär und von Null verschieden ist. Diese Sätze lassen sich auf den Fall ausdehnen, wo \(s_1\) mit \(S_1\) und \(s_2\) mit \(S_2\) zusammenfällt. Es geschieht das ohne erhebliche Schwierigkeit, wenn \(S_1\) und \(S_2\) Kreise (mit endlichen oder unendlichen Radien) sind. Man kann dann \(s_1\) und \(s_2\) als Kreise annehmen, die mit \(S_1\) und \(S_2\) bez. concentrisch sind, und die sich allmählich so verändern, dass sie schliesslich mit \(S_1\) und \(S_2\) bez. zusammenfallen. Auf diese Weise ergiebt sich aus dem zuletzt genannten Satze (für Functionen von \(n\) Veränderlichen ausgesprochen) das oben erwähnte Theorem über die Darstellung der Functionen, die im Endlichen nur ausserwesentlich singuläre Stellen haben, als Quotienten von ganzen Functionen. (Dabei kommen allerdings noch einige bekannte Sätze von Weierstrass zur Anwendung.) Im allgemeinen Falle, wo die Bereiche \(S_1\) und \(S_2\) beliebig gestaltet sind, erfordert die Ausdehnung der genannten Sätze auf den Fall, wo \(s_1\) mit \(S_1\) und \(s_2\) mit \(S_2\) zusammenfällt, eine längere Untersuchung, welcher der Verfasser den letzten Teil seiner Arbeit gewidmet hat.

MSC:
32A10 Holomorphic functions of several complex variables
Keywords:
Cousin problems
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Full Text: DOI
References:
[1] Acta mathematica, tome 2, page 71. · Zbl 0618.00014
[2] Thèse, Paris, Gauthier-Villars, pages 44 et 50.
[3] Thèse, Paris, Gauthier-Villars 1887, page 68. · JFM 33.0098.02
[4] La détermination à preudre pour log (b y) est arbitraire.
[5] La détermination à prendre pour log(b) est arbitraire.
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