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Sur la déformation des surfaces. (French) JFM 26.0715.01

Sind \(S\) und \(S_1\) zwei isometrische Flächen, \((x, y, z)\) und \((x_1, y_1, z_1)\) die Coordinaten entsprechender Punkte, und bildet man \[ \begin{cases} x' = x + h(z+z_1) - k(y+y_1),\quad x_1' = x_1 - h(z+z_1) + k(y+y_1),\\ y' = y + k(x+x_1) - g(z+z_1),\quad y_1' = y_1 - k(x+x_1) + g(z+z_1),\\ z' = z + g(y+y_1) - h(x+x_1),\quad z_1' = z_1 - g(y+y_1) + h(x+x_1),\end{cases}\tag{I} \] wo \(g\), \(h\), \(k\) beliebige Constanten bedeuten, so erhält man die Darstellung zweier neuen Flächen \(S'\) und \(S_1'\), die ebenfalls isometrisch sind. Da dieser Satz unabhängig von der relativen Lage der beiden Flächen \(S\) und \(S_1\) gilt, so kann man, ohne die Gestalt beider zu ändern, ihre relative Lage ändern. Eine relative Translation einer der Flächen gegen die andere würde die Gestalt der Flächen \(S'\) und \(S_1'\) nicht ändern, wohl aber eine relative Drehung. Hierdurch treten noch drei weitere Constanten in die Formeln ein. Man kann somit sagen, jedes Paar von isometrischen Flächen gehöre einem System von Paaren solcher Flächen an, das von sechs willkürlichen Constanten abhängt.
Dieser Satz wird auf einige einfache Beispiele angewandt, wobei sich interessante specielle Resultate ergeben.
Im ersten Beispiel wird als Fläche \(S\) die “Alysseide” genommen, für die \[ x = \sqrt{u^2+a^2}\cos v,\quad y = \sqrt{u^2+a^2}\sin v,\quad z = a\ln\frac{u+\sqrt{u^2+a^2}}a \] ist, als Fläche \(S_1\) die Schraubenfläche \[ x_1 = u\sin v,\quad y_1 = u\cos v,\quad z_1 = av. \] Ferner wird \(g=h\) gewählt. Die Fläche \(S'\) enthält dann eine Schar von Ellipsen und auch \(S_1'\) hat einfache Eigenschaften.
In einem anderen Beispiel werden zwei elliptische Cylinder als Flächen \(S\) und \(S_1\) gewählt, und man erhält als Fläche \(S'\) ein elliptisches Paraboloid. Die Ausgangsgleichungen sind hierbei: \[ \begin{aligned} x &= u^2 - v^2 + 2av,\\ y &= 2u^2 + v^2 - 2av - 2\int\sqrt{b^2+3u^2}du,\\ z &= 2bu;\\ x_1 &= u^2 + 2v^2 - 2av - 2\int(b^2 + 3u^2)du,\\ y_1 &= -u^2 + v^2 + 2\int(b^2 + 3u^2)du,\\ z_1 &= 2\int\sqrt{a^2 - 3v^2}dv.\end{aligned} \] Referent möchte bemerken, dass, ganz abgesehen von diesen speciellen Anwendungen, der allgemeine Satz (I) von sehr weittragender Bedeutung zu sein scheint.

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Full Text: DOI Numdam EuDML