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Sulle superficie di genere O. (Italian) JFM 27.0523.01

Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL) (3) 10, 103-123 (1896).
Die Einleitung zum vorigen Referate (JFM 27.0522.01) passt vollkommen auf das gegenwärtige über eine Abhandlung, die den Zweck hat, die folgende ungemein wichtige Fundamentalaufgabe zu lösen: “Wann ist eine algebraische Fläche rational (d. h. auf eine Ebene eindeutig) abbildbar?” In der Vorrede seiner Arbeit beleuchtet der Verf. sehr durchsichtig die verschiedenen Wege, welche man einschlagen kann, um den Zweck zu erreichen, und erklärt, dass er die Methode anwendet, welche sich auf die Betrachtung der Geschlechter einer Fläche gründet. In der Tat beweist er, “damit ein algebraisches Gebilde \(\infty^2\) rational sei, sei es hinreichend wie notwendig, dass das numerische Flächengeschlecht \(p_n\), das geometrische Flächengeschlecht \(p_g\), wie auch das Bigeschlecht \(P\) gleich Null seien”. Zu bemerken ist, dass die Gleichung \(p_g=0\) eine Folge von \(P=0\) ist. Dass aber die Gleichung \(p_n=0\) von \(P=0\) unabhängig sei, beweisen viele Beispiele, von denen der Verf. zwei anführt: das eine entspricht einer Fläche sechster Ordnung, welche Enriques gefunden hat; das andere betrifft eine Fläche siebenter Ordnung, welche Castelnuovo selbst entdeckt hat. Die Rationalitätsbedingungen einer Fläche können unter verschiedenen Formen ausgedrückt werden; nur die folgende werde wegen ihrer häufigen Anwendungen angeführt:
“Im gewöhnlichen Raume sei eine Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung gegeben, welche keine andere Singularität hat als eine Doppelcurve von der Ordnung \(D\) und vom Geschlechte \(\pi\) und \(T\) dreifache (für die Fläche wie für die Doppelcurve); damit diese Fläche rational sei, ist es notwendig und hinreichend, dass \(\frac 16 (n-1)(n-2)(n-3)-(n-4)D+2T+\pi -1=0\) sei, und dass keine Fläche der Ordnung \(2(n-4)\) existire, welche zweimal durch die Doppelcurve der gegebenen Fläche gehe, ausser derjenigen, welche aus dieser Fläche und einer \((n-8)^{\text{ter}}\) Ordnung bestehen”.

Citations:

JFM 27.0522.01